Question

Dados os pontos A = ( 4, -2) e B = ( 0, 5 ), a equação da reta mediatriz do segmento AB é:
a) 8x - 14y + 5 = 0

b) 4x - 12y + 5 = 0
c) 4x + 12y - 5 = 0

d) 8x - 14y - 5 = 0

e) 8x + 14y + 5 = 0 ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~8x-14y+5=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

A reta mediatriz de um segmento é dada por uma reta perpendicular a este segmento e que passa pelo seu ponto médio.

Para encontrarmos esta reta, devemos lembrar dos seguintes detalhes:

O ponto médio de um segmento formado pelos pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ tem coordenadas $(x_M, y_M)$, no qual $x_M = \dfrac{x_1+x_2}{2}$ e $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$.

Para uma reta ser perpendicular a outra que tem coeficiente angular $m$, seu coeficiente angular deve ser $m_p=-\dfrac{1}{m}$.

Encontremos o ponto médio do segmento AB, formado pelos pontos A $(4, -2)$ e B $(0 ,5)$.

$x_M = \dfrac{4+0}{2}=\dfrac{4}{2}=2~~~~y_M=\dfrac{-2+5}{2}=\dfrac{3}{2}$

O coeficiente angular é dado pela fórmula  $m=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$, na qual $\Delta{y}=y-y_0$ e $\Delta{x}=x-x_0$.

Utilizando qualquer ponto deste segmento, podemos encontrar o coeficiente angular.

$m=\dfrac{-2-5}{4-0}=\dfrac{-7}{4}$

Então, podemos encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular

$m_p=-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{\left(-\dfrac{7}{4}\right)}}$

Calculando a fração de fração, mantendo a primeira e multiplicando pelo inverso da segunda, temos:

$m_p=-1\cdot\left(-\dfrac{4}{7}\right)$

Multiplique os valores

$m_p=\dfrac{4}{7}$

Por fim, utilize a fórmula $y-y_0=m\cdot(x-x_0)$ para encontrar a reta perpendicular ao segmento AB, utilizando as coordenadas do ponto médio

$y-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{7}\cdot(x-2)$

Multiplique ambos os lados da equação por 14

$14y-21=8\cdot(x-2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$14y-21=8x-16$

Subtraia $14y-21$ de ambos os lados da equação

$8x-14y-16+21=0$

Some os termos semelhantes

$8x-14y+5=0$

Esta é a equação geral da reta mediatriz do segmento AB.