Question

A) Sabendo que o valor do seno do ângulo alfa é ¾, use a relação fundamental da trigonometria e determine o valor do cosseno deste ângulo alfa.

B)Qual o valor da tangente do ângulo alfa do exercício anterior?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}~|~\tan\alpha=\pm\dfrac{3\sqrt{7}}{7}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

O enunciado nos diz que $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$.

Podemos utilizar a relação fundamental da trigonometria para encontrarmos o cosseno do ângulo.

A relação é:

$\sin^2x+\cos^2x=1$, para todo $x$ pertencente aos reais.

Substituindo o valor do $x$ por $\alpha$

Temos que $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Substitua o valor do $\sin\alpha$ que o enunciado cedeu

$\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cos^2\alpha=1$

Calcule a potência

$\dfrac{9}{16}+\cos^2\alpha=1$

Subtraia $\dfrac{9}{16}$ de ambos os lados da equação

$\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{16}$

Calcule a soma de frações

$cos^2\alpha=\dfrac{16-9}{16}\\\\\\ \cos^2\alpha=\dfrac{7}{16}$

Retire a raiz quadrada de ambos os lados

$\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{7}{16}}$

Calcule a raiz

$\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

Como o enunciado não diz a qual quadrante o ângulo $\alpha$ pertence, não podemos ter certeza de qual é o sinal do cosseno.

Na letra B, deseja-se calcular o valor da tangente.

Lembremos que $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Substituindo os valores que temos

$\tan\alpha=\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}\right)}{\left(\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)}}$

No cálculo das fração de frações, temos que manter a primeira e multiplicá-la pelo inverso da segunda. Isto é:

$\tan\alpha=\dfrac{3}{4}\cdot\pm\dfrac{4}{\sqrt{7}}$

Multiplique os valores

$\tan\alpha=\pm\dfrac{3}{\sqrt{7}}$

Para racionalizar a fração, multiplique-a por $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$, lembrando que $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$

$\tan\alpha=\pm\dfrac{3}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\pm\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$

O sinal de mais e menos na frente significa que a depender do quadrante que o ângulo $\alpha$ pertence, ele terá o mesmo sinal que o cosseno.

Estes são os valores do cosseno e tangente do ângulo $\alpha$.