Question

O sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)8 pelo binômio de Newton é: * a) 48x³ b) 10752x³ c) 1792x³ d) 3584x³

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{T_6=1792x^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Esta questão envolvendo binômio de Newton busca o sexto termo do desenvolvimento.

Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula do termo geral

Seja o binômio $(a+b)^n$, o termo geral $T_{p+1}$ pode ser encontrado pela fórmula $\displaystyle{{\binom{n}{p}}\cdot a^{n-p}\cdot b^p$, na qual $p$ é um número natural que varia de 0 a $n$ e o número binomial $\displaystyle{\binom{n}{p}}$ é calculado pela fórmula $\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}$.

Na questão temos o binômio $(x+2)^8$, logo $a=x,~b=2$ e $n = 8$.

Como buscamos o sexto termo da expansão, consideramos $p=5$.

$\displaystyle{T_{5+1}=\binom{8}{5}\cdot x^{8-5}\cdot 2^5}$

Calculando número binomial, temos

$T_6=\dfrac{8!}{5!\cdot(8-5)!}\cdot x^3\cdot32$

Lembrando que $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1$, podemos simplificar a fração

$T_6=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot 5!}{5!\cdot3!}\cdot 32x^3$

Simplifique a fração e transforme $3!=6$.

$T_6=\dfrac{8\cdot7\cdot 6}{6}\cdot 32x^3\\\\\\ T_6=8\cdot7\cdot 32x^3$

Multiplique os valores

$T_6=1792x^3$.

Este é o sexto termo da expansão.