Question

Determine o dominio e a imagem de f.

x²+1 se x<1

3 se x=1

2 se x>1

Answer 1

Olá, Samara,

Definição de domínio: conjunto de valores reais x para os quais a função f(x) está definida.

Definição de imagem: subconjunto dos números reais que contém todos os valores da função f(x).

A função f(x), no presente exercício, é definida da seguinte forma:

$f(x)=\begin{cases}x\²+1, \text{se}\,x<1\\3,\,\text{se}\,x=1\\2,\text{se}\,x>1\end{cases}$

Verifica-se, de forma trivial, que o domínio da função, que chamaremos de D(f), é o conjunto dos números reais, pois a função f(x) está definida para x < 1, x = 1 e x > 1.

Para encontrarmos a imagem da função, que chamaremos de Im(f), devemos analisar o comportamento da função f(x).

Observe que:

$\begin{cases}\text{para }x<1:f(x)=x\²+1>0,\forall x\in(-\infty,1)\\\text{para }x=1:f(x)=3>0\\\text{para }x>1:f(x)=2>0\end{cases}$

Como se pode observar acima, Im(f) é o conjuntos dos números reais positivos (atenção: não inclui o zero).

$\therefore \boxed{D(f)=\mathbb{R}}\text{ e }\boxed{Im(f)=\mathbb{R}^+-\{0\}=\mathbb{R}^*_+}$