Question

encontre ao menos uma raiz das seguintes equações de
terceiro grau​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=2, -1+2i, -1-2i\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Desejamos encontrar ao mesmo uma das raízes da equação de terceiro grau

$x^3+x-10=0$

Para isso, existem diversas formas, mas utilizaremos aqui o teorema das raízes racionais para encontrar a solução.

O teorema diz que dada a equação de forma $ax^3+bx^2+cx+d=0$, seja $p$ o conjunto dos divisores inteiros de $d$ e $q$ o conjunto dos divisores inteiros de $a$, encontrando a razão $\dfrac{p}{q}$, ao menos um desses valores deve ser raiz da equação.

Calculando $p$, temos $p=\{\pm1,~\pm2,~\pm5,~\pm10\}$

Calculando $q$ temos $q=\{\pm1\}$

Logo, $\dfrac{p}{q}=\{\pm1,~\pm2,~\pm5,~\pm10\}$

Agora, podemos testar essas raízes racionais no algoritmo prático do Briot-Ruffini

$~x~|~~~~a~~~~~b~~~~~c~~~~~d\\-----------\\~~~~~|\\~~~~~|\\~~~~~|\\~~~~~|$

Na coluna abaixo de $x$, substituímos os valores que encontramos no conjunto $\dfrac{p}{q}$ e no lugar de $a$, $b$, $c$ e $d$ colocamos os coeficientes da equação

Como podemos perceber, a equação está incompleta, ou seja, como está faltando o termo de grau 2, devemos considerar seu coeficiente como 0.

Substitua os valores

$~~~x~|~~~1~~~~~0~~~~~1~~~-10\\-----------\\ ~~~~1~|\\-1~|\\~~~~2~|\\-2~|$

Não colocarei todos os valores pois rapidamente iremos achar uma solução entre os números

Repetimos toda a coluna do coeficiente $a$

$~~~x~|~~~1~~~~~0~~~~~1~~~-10\\-----------\\ ~~~~1~|~~~1\\-1~|~~~1\\~~~~2~|~~~1\\-2~|~~~1$

Multiplicamos cada termo pelo coeficiente e somamos com o próximo, até chegarmos na última casa. Quando o resultado final é 0, o elemento do conjunto responsável por isso é raiz da equação. Ou seja

$~~~x~|~~~1~~~~~0~~~~~1~~~-10\\-----------\\ ~~~~1~|~~~1~~~~~1~~~~~2~~~-8\\-1~|~~~1~~-1~~~~2~~-12\\~~~~2~|~~~1~~~~~2~~~~~5~~~~~~0\\-2~|~~~1~~-2~~~~5~~-20$

Logo, descobrimos que $2$ é uma raiz desta equação.

Para encontrarmos as outras, é importante saber que o algoritmo de Briot-Ruffini não é necessariamente funcional para encontrar raízes de equações e sim para a divisão de polinômios. O que fizemos foi o mesmo de ter dividido a nossa equação por $x-2$.

Logo, como ele funciona para a divisão de polinômios, os números que encontramos abaixo da linha de coeficientes servem para um novo polinômio, porém de grau menor.

Na linha do 2, ficamos com os coeficientes 1, 2, e 5.

Isto significa que as outras raízes são a solução da equação

$x^2+2x+5=0$

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substituindo os valores dos novos coeficientes, ficamos com

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot 1}$

Multiplique os valores, calcule as potências e some os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}$

Lembre-se que raízes negativas não pertencem ao conjunto dos números reais, mas como a questão não nos disse que busca somente raízes reais, usemos $\sqrt{-1}=i$.

$x=\dfrac{-2\pm4i}{2}$

Simplifique a fração

$x=-1\pm2i$.

Logo, encontramos todas as soluções desta equação do 3º grau.