Question

 x' e x'' as raízes da equação do 2° grau x² + 2x – 15 = 0. Determine a soma dos inversos de x' e x''.

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedades de Equação do 2º grau.

Sendo uma equação do 2º grau do tipo :

$\fbox{\displaystyle a.x^2 + b.x + c = 0 }$

com $a \neq 0$

sendo $x' \ e \ x''$ suas raízes :

1) Soma das raízes

$\fbox{\displaystyle x' + x'' = - \frac{b}{a} }$

2) Produto das raízes

$\fbox{\displaystyle x'.x'' = \frac{c}{a} }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos dá a seguinte equação :

$\fbox{\displaystyle x^2+2x-15 = 0 }$

e nos pede a soma do inverso das raízes $x' \ e \ x''$

Vamos mexer nessa soma do inverso das raízes, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{x'}+\frac{1}{x'' } }$

vamos tirar o mmc e ver como fica :

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{x'}+\frac{1}{x'' } \to \frac{1}{x'/x''} + \frac{1}{x''/x'} \to \frac{x'' +x' }{x'.x''} }$

Deu bom. Porque no numerador temos a soma das raízes:

$\fbox{\displaystyle x'+x'' = -\frac{b}{a} }$

substituindo os valores dos coeficientes :

$\fbox{\displaystyle x'+x'' = -\frac{2}{1} \to x'+x'' = -2 }$

E no denominador ficou o produto das raízes :

$\fbox{\displaystyle x'.x'' = \frac{c}{a} }$

substituindo os valores dos coeficientes :

$\fbox{\displaystyle x'.x'' = \frac{-15}{1} }$

Portanto a soma do inverso das raízes fica assim :

${\fbox{\fbox{\displaystyle \frac{x'' +x' }{x'.x''} \to \frac{-2}{-15} \to \frac{2}{15} }}}$