• Matéria: Matemática
  • Autor: amandacristiano722
  • Perguntado 6 anos atrás

Determinar os focos, o comprimento de cada eixo e a excentricidade da elipse de equação 9X² + 16Y²=144​

Respostas

respondido por: SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{a=4,~b=3~|~Os~focos~est\~ao~em~(-\sqrt{7},~0)~e~(\sqrt{7},~0)~|~e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx0,66}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

No estudo de cônicas, a elipse é obtida a partir de um corte oblíquo à geratriz do cone. Existem equações para representá-las no plano, tal qual a que usaremos para resolver esta questão.

Temos a seguinte equação 9x^2+16y^2=144

A intenção é deixá-la na forma reduzida \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

Neste caso, não precisamos completar quadrados, logo

Divida ambos os lados da equação por 144

\dfrac{9x^2}{144}+\dfrac{16y^2}{144}=\dfrac{144}{144}

Simplifique as frações

\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1

Logo, ao compararmos esta que obtivemos com a equação reduzida de uma elipse, descobrimos que

a^2=16 e b^2=9

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

a=\pm4 e b=\pm3

Aqui, ficamos somente com as soluções positivas

a=4 e b = 3.

Como a>b e o centro está em (0,~0), o eixo maior está na horizontal, o que significa que a posição dos focos é (-c,~0) e (c,~0)

Para calcularmos o valor de c em elipses, utilizamos o Teorema de Pitágoras.

a^2=b^2+c^2

Substitua os valores que temos

16=9+c^2

Subtraia 9 em ambos os lados da equação

c^2=7

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

c=\pm\sqrt{7}

Novamente, ficamos somente com a solução positiva

c=\sqrt{7}

Logo, os focos estão nas coordenadas (-\sqrt{7},~0) e (\sqrt{7},~0).

Por fim, a excentricidade da elipse é calculada por meio da fórmula e=\dfrac{c}{a}

Substitua os valores que já encontramos

e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}

Com o auxílio de uma calculadora, calcule o valor aproximado da excentricidade que deve ser um número entre 0 e 1.

e\approx 0,66

Estas são as respostas para a questão.

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