Question

equações diferencias. y′ − 7y = 14x (linear)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=Ce^{7x}-2x-\dfrac{2}{7}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.

Para resolvê-la, devemos reconhecer as funções envolvidas e como as utilizaremos na solução.

Dada a equação da forma

$\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)$

Devemos calcular seu fator integrante, sendo $\mathtt{IF} = \displaystyle{\biggr{e^{\int p(x)\,dx}}}}$

Utilizando a equação que desejamos resolver, temos

$\dfrac{dy}{dx}-7y=14x$, logo $p(x)=-7$ e $f(x)=14x$

Calculando o fator integrante, temos

$\mathtt{IF}=e^{\int-7\,dx}$

Sabemos calcular essa integral, pois se trata da integral de uma constante em respeito a x, logo

$\mathtt{IF}=e^{-7x}$

Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante

$e^{-7x}\dfrac{dy}{dx}-7e^{-7x}y=14xe^{-7x}$

Sabemos que o lado esquerdo da equação se trata de uma derivada em regra da cadeia, logo

$\dfrac{d}{dx}(e^{-7x}y)=14xe^{-7x}$

Integre ambos os lados

$\displaystyle{\int\dfrac{d}{dx}(e^{-7x}y)\, dx=\int 14xe^{-7x}\,dx}$

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que $\displaystyle{\int{\dfrac{df(x)}{dx}\,dx=f(x)$

Para integrar o lado esquerdo, podemos usar integral por partes. Essa técnica consiste em substituirmos uma das funções presentes na integral e calcular seu valor a partir de outra integral

Seja a integral $\displaystyle{\int u\,dv}$, podemos calcular seu resultado fazendo com que  $\displaystyle{\int u\,dv=uv-\int v\,du}$.

Como critério de escolha para quem será $u$ e consequentemente quem será $dv$, utilizaremos a regra LIATE. Ela consiste em Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais.

Logo, escolhemos $u=x$ e $dv=14e^{-7x}\,dx$

Calculamos $du$ derivando a expressão em $u$, logo $du=dx$

Calculamos $v$ integrando a expressão em $dv$, logo

$\displaystyle{\int\,dv=\int14e^{-7x}\,dx}$

Para resolver esta integral, usaremos substituição

Como se trata de um caso já conhecido de integral de uma função exponencial, desejamos encontrar sua forma $\displaystyle{\int e^{x}\,dx}$ .

Para isso, podemos:

Igualar $t=-7x$

Calcule a derivada em ambos os lados: $dt=-7dx$

Isole $dx$ para substituirmos na integral principal: $dx=-\dfrac{dt}{7}$

Substitua o que achamos na integral

$v=\displaystyle{\int 14e^t\cdot\left(-\dfrac{dt}{7}\right)}$

Sabemos que a constante pode ser retirada do sinal de integral quando multiplicada pela função sem alterar seu resultado, logo

$\displaystyle{v=-\dfrac{14}{7}\int e^t\, dt}$

Encontrada a forma que queríamos, esta integral é conhecida e seu resultado é $\displaystyle{\int e^t\, dt = e^t}$. Aqui, ainda não utilizaremos a constante de integração, somente no resultado final.

$v=-2e^t$

Devolva o valor de t, que antes tínhamos substituído no lugar de -7x.

$v=-2e^{-7x}$

Podemos substituir todos os valores na fórmula de integral por partes, logo

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=x\cdot(-2e^{-7x})-\int (-2e^{-7x})\cdot dx$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=-2xe^{-7x}+\int 2e^{-7x}\, dx}$

Aplicando a mesma propriedade da constante na segunda integral, ficamos com

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=-2xe^{-7x}+2\cdot \int e^{-7x}\,dx}$

Se você prestar atenção, verá que acabamos de resolver esta segunda integral, restando-nos apenas substituir seu resultado. Mas lembre-se que antes ela estava sendo multiplicada por 14, logo

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=-2xe^{-7x}+2\cdot \left(-\dfrac{e^{-7x}}{7}\right)$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=-2xe^{-7x}-\dfrac{2e^{-7x}}{7}$

Adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int14xe^{-7x}\,dx=-2xe^{-7x}-\dfrac{2e^{-7x}}{7}+C,~C\in\mathbb{R}$

Substitua o resultado desta integral na nossa equação

$e^{-7x}y=-2xe^{-7x}-\dfrac{2e^{-7x}}{7}+C$

Divida ambos os lados por $e^{-7x}$

$y=-2x-\dfrac{2}{7}+Ce^{7x}$

Reorganize os termos

$y=Ce^{7x}-2x-\dfrac{2}{7}$

Esta é a solução para esta equação diferencial linear de primeira ordem.