Question

Escolha a alternativa que contenha a área abaixo da curva f(x)=x²+6x, no intervalo [1,4]:
a.
66 unidades de medida.
b.
26,4 unidades de medida.
c.
12 unidades de medida
d.
22/3 unidades de medida.
e.
58 unidades de medida.

Answer 1

Intergral de x²+6x.dx no intervalo 1 a 4
(x³/3+3x²) | {4,1}
(4³/3+3.4²) = 208/3
(1³/3+3.1²) = 10/3
208/3 - 10/3 = 66

Answer 2

A área abaixo da curva f(x) = x² + 6x, no intervalo [1,4] é 66 unidades de medida.

Ao esboçar o gráfico da função do segundo grau f(x) = x² + 6x e as retas x = 1 e x = 4, obtemos a área pintada na imagem abaixo.

Perceba que não existe uma fórmula para calcularmos a área da figura formada.

Sendo assim, utilizaremos a integral definida, com limite superior igual a 4 e limite inferior igual a 1.

Ou seja,

$A=\int\limits^4_1 {x^2+6x} \, dx$.

Como x² + 6x é um polinômio, então devemos somar 1 no expoente e dividir pela soma do expoente com 1:

$A = \frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{6x^{1+1}}{2}$

$A=\frac{x^3}{3}+3x^2$.

Agora, vamos substituir o limite inferior no polinômio encontrado:

A(1) = 1³/3 + 3.1²

A(1) = 1/3 + 3

A(1) = 10/3.

Substituindo o limite superior no polinômio:

A(4) = 4³/3 + 3.4²

A(4) = 64/3 + 48

A(4) = 208/3.

A área da figura será igual a diferença A(4) - A(1).

Portanto,

A(4) - A(1) = 208/3 - 10/3

A(4) - A(1) = 198/3

A(4) - A(1) = 66.

Alternativa correta: letra a).

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