Question

A equação geral da circunferência de centro C(−3,2) e raio r = 5 é?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x^2+y^2+6x-4y-12=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a equação geral da circunferência, devemos substituir os valores cedidos pelo enunciado na equação reduzida e expandir os binômios.

A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$, na qual $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $R$ é o raio.

O enunciado nos disse que as coordenadas do centro são $C~(-3,~2)$ e o raio mede $R=5$. Substituindo esses valores, temos:

$(x-(-3))^2+(y-2)^2=5^2$

Efetue a propriedade dos sinais

$(x+3)^2+(y-2)^2=5^2$

Para expandir os binômios, devemos lembrar da fórmula de expansão binomial

$\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^p}$, na qual $a$ e $b$ são os termos do binômio, $n$ é o expoente, $p$ é um termo que varia entre 0 e $n$.

No caso, temos que encontrar uma expansão para $n = 2$, mas aqui podemos usar aquele método mnemônico bastante conhecido: "O quadrado do primeiro mais ou menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo".

Ou seja, $(a\pm b)^2= a^2\pm 2ab+b^2$

Faça isso com os binômios da equação

$x^2+6x+9+y^2-4y+4=25$

Para encontrar a equação geral, devemos deixá-la igual a zero.

Subtraia 25 em ambos os lados

$x^2+6x+9+y^2-4y+4-25=0$

Some os valores

$x^2+6x+y^2 -4y-12=0$

Reorganize os termos

$x^2+y^2+6x-4y-12=0$

Esta é a equação geral da circunferência.