• Matéria: Matemática
  • Autor: Rute588
  • Perguntado 9 anos atrás

Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A em que: na=18, r=2 e Sn=88.

Respostas

respondido por: korvo
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Oi Rute,

vamos pela fórmula do termo geral, com os dados acima..

a_n=a_1+(n-1)r\\\\
18=a_1+(n-1)\cdot2\\
a_1+2n-2=18\\
a_1+2n=20\\\\
a_1=20-2n~~(i)

Agora vamos pela soma dos termos de uma P.A., sabendo-se que a soma vale 88..

\text{S}_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\ \dfrac{(a_1+18)\cdot n}{2}=88\\\\
(a_1+18)\cdot n=88\cdot2\\\\
(a_1+18)\cdot n=176\\\\
a_1+18= \dfrac{176}{n}\\\\
a_1= \dfrac{176}{n} -18~~(ii)

Feito isso, podemos comparar a1 da equação i, com a1 da equação ii, veja..

a_1=a_1:\\\\
20-2n= \dfrac{176}{n}-18\\\\
(multiplica~os~inteiros~pelo~denominador~n)\\\\
n\cdot(20-2n)=176-18\cdot n\\
20n-2n^2=176-18n\\
2n^2-20n-18n+176=0\\
2n^2-38n+176=0\\\\
(divide~toda~eq.~por~2)\\\\
n^2-19n+88=0

Agora é só resolver esta equação de 2° grau..

\Delta=b^2-4ac\\
\Delta=(-19)^2-4\cdot1\cdot88\\
\Delta=361-352\\
\Delta=9\\\\
n= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-19)\pm \sqrt{9} }{2\cdot1} = \dfrac{19\pm3}{2}\begin{cases}n_1=8\\
n_2=11\end{cases}

Temos dois resultados para o número de termos, portanto..

Quando n=8, o primeiro termo vale..

a_1=20-2n\\
a_1=20-2\cdot8\\
a_1=20-16\\\\
\Large\boxed{a_1=4}


Quando n=11, então a1 é igual..

a_1=20-2\cdot11\\
a_1=20-22\\\\
\Large\boxed{a_1=-2}


BJK ^^
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