Question

Se F: R⇒R é da forma F(x)= ax+b e verifica f(f(x))= x +1 para todo x real,calcule os valores de a e b. Questão de "Fundamentos da matemática elementar-Volume 1" Gabarito: a=1;b=1/2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(f(x))=f(ax+b)$

$\sf f(f(x))=a\cdot(ax+b)+b$

$\sf f(f(x))=a^2x+ab+b$

Como $\sf f(f(x))=x+1$, então:

$\sf a^2x+ab+b=x+1$

• $\sf a^2=1$

$\sf a=\pm\sqrt{1}$

$\sf a=1$ ou $\sf a=-1$

• $\sf ab+b=1$

Para $\sf a=1$:

$\sf 1\cdot b+b=1$

$\sf b+b=1$

$\sf 2b=1$

$\sf b=\dfrac{1}{2}$

• Para $\sf a=-1$:

$\sf (-1)\cdot b+b=1$

$\sf -b+b=1$

$\sf 0=1$ (absurdo)

Assim, $\sf a=-1$ não serve

Logo, $\sf a=1,~b=\dfrac{1}{2}~e~f(x)=x+\dfrac{1}{2}$