Question

considere um triângulo retângulo cujo a área seja igual a 60 metros quadrados e cuja hipotenusa seja igual a 17 m. qual é a medida da base ? qual é a altura desse triângulo?


(me ajudem rápido pfvrr)​

Answer 1

Resposta:

altura = 8m e base = 15m

ou

altura = 15m e base = 8m

Explicação passo-a-passo:

Se o triângulo é retângulo, podemos afirmar que a medida de um dos catetos é a sua altura, e a medida do outro cateto é a base.

Vamos chamar um cateto de $h$ e o outro de $b$.

A área nesse caso será:

$A=(b*h)/2$  -----> base vezes altura dividido por dois

Sabemos que a área do triângulo é $60m^2$, então:

$A=60=(b*h)/2\\60*2=b*h\\120=b*h\\b=120/h$

Sabemos também que a hipotenusa vale 17m, logo pelo Teorema de Pitágoras, temos:

$17^2=b^2+h^2\\289=b^2+h^2$

Substituindo $b=120/h$ em $b^2+h^2=289$, temos:

$(120/h)^2+h^2=289\\120^2/h^2+h^2=289\\14400/h^2+h^2=289\\14400/h^2+h^4/h^2=289\\(14400+h^4)/h^2 = 289\\14400+h^4=289h^2\\h^4-289h^2+14400=0$

Note que da linha 3 pra linha 4 eu substitui o $h^2$ por $h^4/h^2$, pois tem o mesmo valor.

A equação $h^4 - 289h^2+14400 = 0$ é uma equação biquadrada, logo tem 4 raízes.

Para resolvê-la, precisamos transformá-la em uma equação quadrática (2º grau).

Fazendo $x=h^2$, temos: $x^2=h^4$ e $x^2-289x+14400=0$.

Para resolver esta equação podemos usar a fórmula de Bháskara:

$x=(-b\pm\sqrt{\Delta} )/2a$ onde $\Delta=b^2-4ac$.

No nosso caso temos:

$a=1\\b=-289\\c=14400$

Assim:

$\Delta=(-289)^2-4*1*14400\\\Delta=83521-57600\\\Delta=25921$

$x = (-(-289)\pm\sqrt{25921})/(2*1)\\x=(289\pm161)/2\\\\x_1 = (289-161)/2\\x_1=128/2\\x_1=64\\\\x_2=(289+161)/2\\x_2=450/2\\x_2=225$

Agora vamos calcular os valores de $h$:

$h^2=x\\h=\pm\sqrt{x}\\\\h_1=\sqrt{x_1}\\h_1=\sqrt{64}\\h_1=8\\\\h_2=-\sqrt{x_1}\\h_2=-\sqrt{64}\\h_2=-8\\\\h_3=\sqrt{x_2}\\h_3=\sqrt{225}\\h_3=15\\\\h_4=-\sqrt{x_2}\\h_4=-\sqrt{225}\\h_4=-15$

Note que $h$ não pode ser negativo, pois é a medida da altura do triângulo, então:

$h=8$ ou $h=15$

Lá no início dos cálculos, vimos que: $h*b = 120$, então:

$h_1*b=120\\8 * b=120\\b = 120/8\\b=15$

ou

$h_2*b=120\\15*b=120\\b=120/15\\b=8$

Portanto temos:

altura = 8m e base = 15m

ou

altura = 15m e base = 8m