Question

No conjunto R (reais), a equação abaixo, tem: 




apenas uma raiz negativa.

duas raízes negativas.

apenas uma raiz positiva.

duas raízes positivas.

uma raiz igual a zero

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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~Apenas~uma~raiz~positiva}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta equação irracional, devemos relembrar algumas propriedades.

Para retirarmos a raiz, devemos elevar ambos os lados ao quadrado. Ao resolver a equação quadrática podemos ou não encontrar duas soluções, porém devemos testá-las na raiz original antes de montar o conjunto-solução.

Temos a seguinte equação irracional

$\sqrt{6-x}=x$

Eleve ambos os lados ao quadrado, lembre-se que o radicando sai em módulo

$|6-x|=x^2$

Isto significa que existem dois casos, nos quais a expressão $6-x$ é positiva e $x<6$ ou a expressão $6-x$ é negativa e $x>6$.

Separando os dois casos, ficamos com

$\begin{cases}6-x=x^2~~(I)\\ 6-x=-x^2~~(II)\\\end{cases}$

Resolvendo o caso $(I)$, ficamos com

$6-x=x^2\\\\\\ x^2+x-6=0$

Aplique a fórmula de Bháskara

A fórmula consiste em substituirmos os coeficientes da equação completa $ax^2+bx+c=0$ em $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$.

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}$

Calculando as potências e multiplicando e somando os valores, temos

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}$

Sabendo que $25=5^2$, simplifique a raiz

$x=\dfrac{-1\pm5}{2}$

Separe as raízes

$x_1=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2~~~~~~x_2=\dfrac{-1-5}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$

Resolvamos a outra equação $(II)$. Temos que

$-x^2+x-6=0$

Aplique a fórmula de Bháskara

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)}}{2\cdot(-1)}$

Multiplicando, calculando as potências e somando os valores, vemos que

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-23}}{-2}$

Logo, podemos desconsiderar ambas as soluções, pois o enunciado nos garante que as soluções devem pertencer ao conjunto dos reais.

Por fim, testando as duas raízes que encontramos antes na equação original, temos

$\sqrt{6-2}=2~~~~~\sqrt{6-(-3)}=-3\\\\\\\ \sqrt{4}=2~~~~~~~~~~~\sqrt{9}=-3\\\\\\\ 2=2~~\checkmark~~~~~~~~~3\neq -3$

Portanto, a equação irracional apresenta somente uma raiz positiva.