Question

Determine o valor de n, em 24.5n.11n, para que ele tenha 45 divisores.

Answer 1

Quando temos a fatoração em números primos de um número, para determinar a quantidade de divisores que ele possui, somamos 1 a cada um dos expoentes dessa fatoração e multiplicamos os valores obtidos.

Queremos então que:

$2^4.5^n.11^n \rightarrow (4+1)(n+1)(n+1) = 45\\\\5(n^2 + 2n + 1) = 45\\n^2 + 2n + 1 = 9\\n^2 + 2n - 8 = 0$

Vamos resolver utilizando Bhaskara:

$\Delta = 2^2 - 4.1.(-8)\\\Delta = 4 + 32\\\Delta = 36\\\sqrt{\Delta} = 6\\\\n_1 = \dfrac{-2+6}{2.1} = 2\\\\n_2 = \dfrac{-2-6}{2.1} = -4$

Como os expoentes não podem ser negativos, n = 2.

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