Question

Integral x^2 sobre √1-X^2 NO INTERVALO DE 0 A √2/2

Answer 1

Resposta:

π/8 - 1/4

Explicação passo-a-passo:

Essa é uma integral por substituição trigonométrica!

$\int\limits^\frac{\sqrt{2} }{2} _0 {\frac{x^{2} }{\sqrt{1-x^{2} } } } \, dx$

Vamos substituir "x" por sen(u), assim, dx = cos(u)du

$\int\limits^\frac{\sqrt{2} }{2} _ 0{\frac{sen(u)^{2} }{\sqrt{1-sen(u)^{2} } } } \, cos(u)du$

Sabendo que 1 - sen²(u) = cos²(u), temos:

$\int\limits^\frac{\sqrt{2} }{2} _0 {\frac{sen(u)^{2} }{\sqrt{cos(u)^{2} } } } \, cos(u)du$

Cancela-se o expoente 2 com a raiz (no denominador):

$\int\limits^\frac{\sqrt{2} }{2} _0 {\frac{sen(u)^{2} }{cos(u)} } } \, cos(u)du$

Agora cancela-se o cos(u) no denominador e numerador:

$\int\limits^\frac{\sqrt{2} }{2} _0 {sen(u)^{2} }{} } } \, du$

Já a integral de sen²(u) du é dada pela fórmula:

$\frac{1}{2} u - \frac{sen(2u)}{4} \left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{2} } \atop {0}} \right.$

Como sen(2u) = 2sen(u)cos(u), entao:

$\frac{1}{2} u - \frac{2sen(u)cos(u)}{4} \left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{2} } \atop {0}} \right.$

Agora basta voltar a variável incial: onde tem sen(u) = x, cos(u) = $\sqrt{1-x^{2} }$ e  u = arcsen x:

$\frac{1}{2} arcsen(x) - (\frac{2}{4} )x*(\sqrt{1-x^{2} } )\left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{2} } \atop {0}} \right.$

Substituindo os limites de integração:

$[\frac{1}{2} arcsen(\frac{\sqrt{2} }{2} ) - (\frac{2}{4} )\frac{\sqrt{2} }{2} *(\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2} }{2} )^{2} } ) - [\frac{1}{2} arcsen(0) - (\frac{2}{4} )0 *(\sqrt{1-(0)^{2} } )]$

Resultando em π/8 - 1/4

Bem chata essa integral! Espero não ter errado algum cálculo rsrs

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\pi-2}{8}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Desejamos calcular a seguinte integral definida: $\displaystyle{\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx}$

Existem diversas maneiras de calcularmos seu resultado, mas utilizaremos aqui a substituição trigonométrica.

Então, considere primeiro resolvermos a integral indefinida e logo depois substituirmos os limites que temos para $x$.

Considere a substituição $x=\sin\theta$

Diferencie ambos os lados

$dx=\cos\theta\,d\theta$

Substitua o valor de $x$ e $\,dx$ na integral

$\displaystyle{\int\dfrac{(\sin\theta)^2}{\sqrt{1-(\sin\theta)^2}}\,\cdot\cos\theta\,d\theta}$

Lembremos da equação fundamental da trigonometria: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

Podemos calcular o valor de $\sqrt{1-sin^2\theta}$  a partir dela, seguindo os passos

Subtraia $\sin^2\theta$ em ambos os lados da equação fundamental

$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}$

Consideremos aqui a solução positiva para o cosseno, depois voltaremos a comentar sobre isso quando utilizarmos os limites de integração.*

Logo, utilize a $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}$ na integral

$\displaystyle{\int\dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int\sin^2\theta\,d\theta}$

Agora, considere a outra forma de expressar $\sin^2\theta$ provinda da equação fundamental: $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$

É importante fazermos isto pois conhecemos uma forma mais simples de integrar $\cos^2\theta$.

Lembre-se da fórmula de arco duplo: $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$

Isole $\cos^2\theta$

$\cos^2\theta=\dfrac{\cos2\theta+1}{2}$

Substitua este valor na integral

$\displaystyle{\int1-\dfrac{\cos2\theta+1}{2}\,d\theta}$

Separe as frações como a soma de duas frações de mesmo denominador e aplique a regra de sinais

$\displaystyle{\int1-\dfrac{\cos2\theta}{2}-\dfrac{1}{2}\,d\theta}$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos2\theta}{2}\,d\theta}$

Sabemos pelas propriedades de integral que a integral de uma soma é igual a soma das integrais, logo:

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{2}\,d\theta-\int\dfrac{\cos2\theta}{2}\,d\theta}$

Lembre-se que para integrar uma função multiplicada por uma constante, retiramos esta constante e integramos apenas a função como em $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$.

Porém, se o integrando for uma constante, basta apenas considerar que ela tem a forma $\displaystyle{\int a\cdot x^0\,dx}$. Aqui, utilizando a propriedade $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, facilmente chegamos ao resultado $\displaystyle{\int a\,dx}=a\cdot x$

Aplique estas propriedades na nossa integral

$\displaystyle{\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \int{\cos2\theta}\,d\theta}$

Para integrar esta função cosseno, lembre-se que ao integrar uma função composta, deve-se dividir o resultado padrão pela derivada do que compõe a função. Ou seja, sabendo que $\displaystyle{\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta}$, nossa integral fica:

$\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin2\theta}{2}$

Multiplique as frações

$\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\sin2\theta}{4}$

Agora, desfaça a substituição $x=\sin\theta$, de forma que $\theta=\arcsin{x}$ lembrando da equação fundamental e que $\sin2\theta=2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$:

$\dfrac{\arcsin{x}}{2}-\dfrac{2\cdot x\cdot\sqrt{1-x^2}}{4}$

Simplifique a fração à direita

$\dfrac{\arcsin{x}}{2}-\dfrac{x\cdot\sqrt{1-x^2}}{2}$

Então, aplique os limites para $x$, lembrando que $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$

$\dfrac{\arcsin{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}{2}-\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}{2}$

Sabendo que $\arcsin{x}$ se trata da função inversa do seno e que $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ e simplificando a potência e a soma dentro da raiz, temos que

$\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2}-\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

Simplifique as frações

$\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}$

Some as frações

$\dfrac{\pi-2}{8}$

Este é o resultado desta integral.

*Aqui, não utilizamos a solução negativa para o $\cos\theta$ pois os limites de integração estavam em um intervalo contido no primeiro quadrante. Logo, os valores de $\cos\theta$ são positivos.