Question

Resolva o sistema linear a seguir pelo método do escoamento 

{2x - 3y - z = 4
{3x + 6y + 3z = 9
{6x - 2y - 4z = 2

Answer 1

Temos o seguinte sistema linear:

$\sf \begin{cases} \sf 2x - 3y - z = 4 \\ \sf 3x + 6y + 3z = 9 \\ \sf 6x - 2y - 4z = 2 \end{cases}$

A questão pede para que resolvamos essa sistema através do método do escalonamento, para isso seguiremos alguns passos.

• Primeiro você deve fixar a equação mais simples em relação a "x", ou seja, 2x - 3y - z = 4, tendo fixado essa equação você deve montar outras duas através de uma manipulação algébrica que faça com que o "x" suma de ambas.

Multiplicarei a primeira equação por -3/2 e somarei a mesma com a segunda equação do sistema:

$\sf 2x - 3y - z = 4 \: . \left( - \frac{3}{2} \right) \\ \sf 3x + 6y + 3z = 9 \\ \\ \sf 2. \left( - \frac{3}{2} \right)x - 3 \left( - \frac{3}{2} \right) y - \left( - \frac{3}{2} \right)z = 4. \left( - \frac{3}{2} \right) \\ \sf 3x + 6y + 3z = 9 \\ \\ \sf \cancel{- 3x} + \frac{9y}{2} + \frac{3z}{2} = - 6 \\ \sf \cancel{3x} + 6y + 3z = 9 \\ \sf \\ \sf \frac{9y }{2} + 6y + \frac{3z}{2} + 3z = 9 - 6 \\ \\ \sf \frac{9y + 12y}{2} + \frac{3z + 6z}{2} = 3 \\ \\ \sf \frac{21y}{2} + \frac{9z}{2} = 3 \\ \\ \bullet\sf 21y + 9z = 6 \bullet$

Agora vamos fazer essa mesma coisa com a terceira equação, para ela multiplicaremos a primeira equação por (-3).

$\sf 2x - 3y - z = 4.( - 3) \\ \sf 6x - 2y - 4z = 2 \\ \\ \sf \cancel{- 6x} + 9y + 3z = - 12 \\ \sf \cancel{6x} - 2y - 4z = 2 \\ \\ \sf 9y - 2y + 3z - 4z = - 12 + 2 \\ \\ \bullet\sf 7y - z = - 10 \bullet$

• Reescrevendo essas equações no sistema:

$\sf \begin{cases} \sf 2x - 3y - z = 4 \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: 21y+ 9z = 6 \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: 7y - z = - 10 \end{cases}$

• Do mesmo jeito que fizemos anteriormente teremos que fixar mais uma equação, escolherei fixar 7y -z = -10.

Agora vamos cancelar a incógnita "y" através de uma manipulação algébrica, onde multiplicaremos a segunda equação fixada por (-3) e a somaremos com 21y + 9z = 6.

$\sf 7y - z = - 10.( - 3) \\ \sf 21y + 9z = 6 \\ \\ \sf \cancel{- 21y }+ 3z = 30 \\ \sf \cancel{21y} + 9z = 6 \\ \\ \sf 3z + 9z = 30 + 6 \\ \\ \bullet \sf 12z = 36\bullet$

Substituindo essa nova expressão no sistema:

$\sf \begin{cases} \sf 2x - 3y - z = 4 \\ \sf \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: 7y - z = - 10 \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 12z = 36\end{cases}$

Para finalizar é só resolver normalmente como se fosse uma equação do primeiro grau.

$\begin{cases} \sf 12z = 36 \\ \sf z = \frac{36}{12} \\ \sf z = 3 \end{cases} \: \: \: \begin{cases} \sf7y - z = - 10 \\ \sf 7y - 3 = - 10 \\ \sf 7y = - 10 + 3 \\ \sf 7y = - 7 \\ \sf y = \frac{ - 7}{7} \\ \sf y = - 1 \end{cases} \: \: \: \begin{cases} \sf 2x - 3y - z = 4 \\ \sf 2x - 3.( - 1) - 3 = 4 \\ \sf 2x + 3 - 3 = 4 \\ \sf 2x = 4 \\ \sf x = \frac{4}{2} \\ \sf x = 2 \end{cases}$

Portanto a solução será:

$\orange \bigstar\:\boxed{ \sf S = \{2, - 1,3 \}}\:\orange\bigstar$

Espero ter ajudado