Question

Determine o quinto termo do desenvolvimento de (x+2)^7

Answer 1

• Para encontrar o quinto termo desse binômio podemos utilizar o termo geral do binômio, pois tal fórmula nos permite calcular termos específicos de um binômio, ele é dado por:

$\orange{ \boxed{\green{ \boxed{\red{ \boxed{\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p}}}}}}}$

Onde:

• "a" e "b" representam o primeiro e o segundo termo respectivamente;

• "n" representa o expoente;

• "p" representa a posição do termo que estamos querendo.

E também temos o número binomial que é calculado através da fórmula da combinação simples.

$\sf \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Sabendo de toda a parte teórica, vamos partir para o cálculo.

• Temos os seguintes dados:

$\sf \begin{cases} \sf a =x \\ \sf b = 2 \\ \sf p =? \\ \sf n = 7 \end{cases}$

Para encontrar o valor de "p" devemos substituir na relação (p+1 = y), onde "y" vai ser o termo que procuramos, ou seja, o quinto termo.

$\sf p + 1 = 5 \\ \sf p = 5 - 1 \\ \boxed{\sf p = 4}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p} \\ \\ \sf \sf T_{4+1} = \binom{7}{4}.(x)^{7-4}.(2)^{4} \\ \\ \sf \sf T_{5} = \binom{7}{4}.x^{3}.16 \\ \\ \sf T_{5} = \frac{7!}{4!(7-4)!} .16x {}^{3} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{7!}{4!.3 !} .16x {}^{3} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{7.6.5. \cancel{4 !}}{ \cancel{4!}3!} .16x {}^{3} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{7.6.5}{3.2.1} .16x {}^{3} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{210}{6} .16x {}^{3} \\ \\ \sf T_{5} = 35.16x {}^{3} \\ \\ \boxed{ \orange\bigstar \: \sf T_{5} = 560x {}^{3} \orange\bigstar}$

Espero ter ajudado