Question

2) Calcule a área do Heptágono ABCDEFG cujos vértices estão localizados nos pontos A(-5,1), B(-3,2), C(-1,3), D(0,6), E(2,4), F(6,0) e G(3,-6).

Answer 1

Resposta:

59,5

Explicação passo-a-passo:

Primeiro construa os pontos no gráfico cartesiano (Veja figura abaixo). Você verá que os pontos A, B e C estão alinhados (numa mesma reta), assim como os pintos D, E e F.

Podemos dividir a figura em três triângulos e calcular a área de cada um e depois somar.

A área do triângulo formado por três pontos $A(x_A, y_A)$,  $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C, y_C)$(não alinhados, óbvio) do plano cartesiano é calculada por:

$A = \frac{|D|}{2}$, onde D é o determinante da matriz:

$D = \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|$

1°) Vamos calcular a área do triângulo ACG:

$A(-5,1)$      $C(-1,3)$        $G(3,-6)$

$D_{1} = \left|\begin{array}{ccc}-5&1&1\\-1&3&1\\3&-6&1\end{array}\right|$

Para resolver esse determinante repita as duas primeiras colunas, multiplique os números que estão na diagonal (ida), adicione os resultados; depois faça o mesmo com os números que estão na diagonal (volta). Por fim, faça a diferença entre os dois números.

$D_{1} = \left|\begin{array}{ccc}-5&1&1\\-1&3&1\\3&-6&1\end{array}\right| \begin{array}{ccc}-5&1\\-1&3&\\3&-6&\end{array}$

Ida: $(-5) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot (-6) = - 15 + 3 + 6 = - 6$

Volta: $1 \cdot 3 \cdot 3 + (-5) \cdot 1 \cdot (-6) + 1 \cdot (-1) \cdot 1 = 9 + 30 - 1 = 38$

Assim, temos:

$D_{1} = - 6 - 38 = - 44$

A área é:

$A_{1} = \frac{|D|}{2}= \frac{|-44|}{2} = \frac{44}{2} = 22$

2°) Vamos calcular a área do triângulo CFG:

$C(-1,3)$          $F(6,0)$        $G(3,-6)$

$D_{2} = \left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\6&0&1\\3&-6&1\end{array}\right| \begin{array}{ccc}-1&3\\6&0&\\3&-6&\end{array}$

Ida: $(-1) \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 6 \cdot (-6) = 0 + 9 - 36 = - 27$

Volta: $1 \cdot 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \cdot (-6) + 3 \cdot 6 \cdot 1 = 0 + 6 + 18 = 24$

Assim, temos:

$D_{2} = - 27 - 24 = - 51$

A área é:

$A_{2} = \frac{|D_{2}|}{2}= \frac{|-51|}{2} = \frac{51}{2} = 25,5$

3°) Vamos calcular a área do triângulo CDF:

$C(-1,3)$          $D(0,6)$        $F(6,0)$

$D_{3} = \left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\0&6&1\\6&0&1\end{array}\right| \begin{array}{ccc}-1&3\\0&6&\\6&0&\end{array}$

Ida: $(-1) \cdot 6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 6 + 1 \cdot 0 \cdot 0 = - 6 + 18 + 0 = 12$

Volta: $1 \cdot 6 \cdot 6 + (-1) \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot 1 = 36 + 0 + 0 = 36$

Assim, temos:

$D_{3} = 12 - 36 = - 24$

A área é:

$A_{3} = \frac{|D_{3}|}{2}= \frac{|-24|}{2} = \frac{24}{2} = 12$

A área do polígono ABCDEFG será:

$A =A_{1} + A_{2} + A_{3} = 22 + 25,5 + 12 = 59,5$