Question

me ajudemmm ! binômio de newton (y/2 + 2) elevado a 6.

- O quarto termo em (2+b/2) elevado a 10. por favorrr !!!!

Answer 1

Questão 1)

• Temos o seguinte binômio:

$\orange{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{ \sf \left(\frac{y}{2}+2\right)^{6}}}}}}}$

Para resolver esse binômio vamos usar o Teorema do desenvolvimento do binômio de Newton, dado por:

$\boxed{\sf(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n}{}^{a}C_{b}.a^{n-p}.b^{p}}$

Onde:

• "a" e "b" representam respectivamente o primeiro e o segundo número do binômio;

• "p" representa a "posição" do elemento;

• A letra grega Sigma representa o somatório de todos os números binomiais.

Sabendo da teoria, vamos para a prática:

$\sf \left( \frac{y}{2} + 2 \right) {}^{6} = \binom{6}{0} .\left( \frac{y}{2} \right) {}^{6}.(2) {}^{0} + \binom{6}{1} .\left( \frac{y}{2} \right) {}^{5}.(2) {}^{1} + \binom{6}{2}. \left( \frac{y}{2} \right) {}^{4} .(2) {}^{2} + \binom{6}{3} .\left( \frac{y}{2} \right) {}^{3} .(2) {}^{3} + \binom{6}{4}.\left( \frac{y}{2} \right) {}^{2} .(2) {}^{4} + \binom{6}{5}. \left( \frac{y}{2} \right) {}^{1} .(2) {}^{5} + \binom{6}{6} .\left( \frac{y}{2} \right) {}^{0}.(2) {}^{6} \\ \\ \sf \left( \frac{y}{2} + 2 \right) {}^{6} = 1. \frac{y {}^{6} }{2 {}^{6} } .1 + 6. \frac{y {}^{5} }{2 {}^{5} } .2 + 15. \frac{y {}^{4} }{2 {}^{4} } .4 + 20. \frac{y {}^{3} }{2 {}^{3} } .8 + 15. \frac{y {}^{2} }{2 {}^{2} } .16 + 6. \frac{y}{2} .32 + 1.1.64 \\ \\ \sf \sf \left( \frac{y}{2} + 2 \right) {}^{6} = \frac{y {}^{6} }{64} + \frac{12y {}^{5} }{32} + \frac{60y {}^{4} }{16} + \frac{160y {}^{3} }{8} + \frac{240y {}^{2} }{4} + \frac{192y}{2} + 64 \\ \\ \sf \boxed{\sf \left( \frac{y}{2} + 2 \right) {}^{6} = \frac{y {}^{6} }{64} + \frac{3y {}^{5} }{8} + \frac{15y {}^{4} }{4} + 20y {}^{3} + 60y {}^{2} + 96y + 64}$

Questão 2):

• Temos o seguinte binômio:

$\orange{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{ \sf \left(2+\frac{b}{2}\right)^{10}}}}}}}$

Para resolver essa questão vamos usar praticamente a mesma fórmula, mas com o propósito diferente, tal fórmula é chamada de Termo geral do binômio, dado por:

$\boxed{\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p}}$

• Os elementos são os mesmos da fórmula anterior.

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p}.(2)^{10-p}. \left( \frac{b}{2} \right)^{p} \:$

Para descobrir o valor de "p" vamos substituir na relação (p + 1 = y), onde "y" representa o quarto termo.

$\sf p + 1 = 4 \\ \sf p = 4 - 1 \\ \sf p = 3$

Substituindo na fórmula:

$\sf T_{3+1} = \binom{10}{3}.(2)^{10-3}.\left( \frac{b}{2} \right)^{3} \\ \\ \sf \sf T_{4} = \binom{10}{3}.(2)^{7}. \frac{b {}^{3} }{2 {}^{3} } \\ \\ \sf T_{4} = \frac{10!}{3!(10-3)!} .128. \frac{b {}^{3} }{8} \\ \\ \sf T_{4} = \frac{10!}{3!7 ! } .16b {}^{3} \\ \\ \sf T_{4} = \frac{10.9.8. \cancel{7 ! }}{3.2.1. \cancel{7! }} 16b {}^{3} \\ \\ \sf T_{4} = \frac{720}{6} .16b {}^{3} \\ \\ \sf T_{4} = 120.16b {}^{3} \\ \\ \boxed{ \sf T_{4} = 1920b {}^{3} }$

Espero ter ajudado