Question

Mostre que $\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}}$

Answer 1

Limite trigonométrico fundamental

$\huge\boxed{\displaystyle\mathsf{\lim_{u \to 0}\dfrac{sen(u)}{u}=1}}$

$\dotfill$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}}$

Vamos multiplicar a expressão pelo conjugado do numerador:

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{(1-cos(x))}{x^2}\cdot\dfrac{(1+cos(x))}{(1+cos(x))}}$

Lembrando que

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}}}}}$ temos:

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{(1-cos^2(x))}{x^2(1+cos(x))}}$

Lembrando que o limite do produto é igual ao produto dos limites, vamos escrever a expressão de outra forma:

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos^2(x)}{x^2}} \cdot\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{1+cos(x)}}$

Lembrando que $\mathsf{sen^2(x)+cos^2(x)=1\implies~sen^2(x)=1-cos^2(x)}$

Vamos substituir no limite.

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{sen^2(x)}{x^2}} \cdot\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{1+cos(x)}}$

Lembrando que

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n}}}}}$

temos

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{sen(x)}{x}\right) ^2}\cdot\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{1+cos(x)}}$

Usando a propriedade

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to a}f(x)^2= \left(\lim_{x \to a}f(x) \right)^2}$

Vamos substituir

$\displaystyle\mathsf{\left(\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(x)}{x}\right)^2}\cdot\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{1+cos(x)}}$

Substituindo os valores temos:

$\mathsf{1^2\cdot\dfrac{1}{1+cos(0)}}\\\mathsf{1\cdot\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}}$

Portanto

$\large\boxed{\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}=\dfrac{1}{2}}\blacksquare}$

$\dotfill$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/29221047

Answer 2

Oie, Td Bom?!

■ Resposta: $lim_{x⟶0}( \frac{1 - \cos(x) }{x {}^{2} } ) = \frac{1}{2}$ .

$= lim_{x⟶0}( \frac{1 - \cos(x) }{x {}^{2} } )$

• Avaliando os limites do numerador e denominador separadamente:

• $lim_{x⟶0}( 1 - \cos(x) ) = 0$

• $lim_{x⟶0}(x {}^{2} ) = 0$

➛ Usando a regra L'Hopital:

$lim_{x⟶c}( \frac{f(x)}{g(x)} ) = lim_{x⟶c}(\frac{f'(x)}{g'(x)})$

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \frac{d}{dx} (1 - \cos(x) )}{ \frac{d}{dx}(x {}^{2} )} )$

• Calculando a derivada do numerador:

$⇒\frac{d}{dx} (1 - \cos(x) )$

$⇒ \frac{d}{dx} (1) - \frac{d}{dx} ( \cos(x) )$

$⇒ 0 - ( - \sin(x) )$

$⇒ \sin(x)$

• Calculando a derivada do denominador:

$⇒ \frac{d}{dx} (x {}^{2} )$

$⇒2x {}^{2 - 1}$

$⇒2x {}^{1}$

$⇒2x$

• Com isso:

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \sin(x) }{2x} )$

➛ Usando a regra L'Hopital mais uma vez, então:

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \frac{d}{dx} (\sin(x) )}{ \frac{d}{dx} (2x)} )$

• Calculando a derivada do numerador:

$⇒ \frac{d}{dx} ( \sin(x) )$

$⇒ \cos(x)$

• Calculando a derivada do denominador:

$⇒ \frac{d}{dx} (2x)$

$⇒2$

• Com isso:

$= lim_{x⟶0}( \frac{ \cos(x) }{2} )$

$= \frac{ lim_{x⟶0}( \cos(x) ) }{ lim_{x⟶0}(2) }$

$= \frac{ \cos( lim_{x⟶0}(x )) }{2}$

$= \frac{ \cos(0) }{2}$

$= \frac{1}{2}$

Att. Makaveli1996