Question

Avalie a integral $\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}~dx}$

Answer 1

Integração por frações parciais

$\dotfill$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}~dx}$

$\mathsf{\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}=\dfrac{3x+1}{x(x-2)(x+2)}}$

$\mathsf{\dfrac{3x+1}{x(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2}}$

$\mathsf{A=\dfrac{3\cdot0+1}{(0-2)(0+2)}=-\dfrac{1}{4}}\\\mathsf{B=\dfrac{3\cdot2+1}{2(2+2)}=\dfrac{7}{8}}\\\mathsf{C=\dfrac{3\cdot(-2)+1}{-2(-2-2)}=-\dfrac{5}{8}}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}~dx=-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x}+\dfrac{7}{8}\int\dfrac{dx}{x-2}-\dfrac{5}{8}\int\dfrac{dx}{x+2}}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}~dx=-\dfrac{1}{4}\ell n\left|x\right|+\dfrac{7}{8}\ell n\left|x-2\right|-\dfrac{5}{8}\ell n\left|x+2\right|+k}$

$\boxed{\boxed{\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{3x+1}{x(x^2-4)}~dx=\large\ell n\left|\dfrac{(x-2)^{\frac{7}{8}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot(x+2)^{\frac{5}{8}}}\right|+k}}}$

$\dotfill$

saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/23986903

Answer 2

Oie, Td Bom?!

∫ [3x+1]/[x.(x²-4)] dx

• Para cada fator do denominador, escreva uma nova fração usando os fatores como novos denominadores. Os numeradores são valores desconhecidos.

∫ ?/x + ?/[x²-4] dx

• Dado que o fator no denominador é linear, o numerador é uma constante desconhecida A.

• Dado que o fator no denominador é quadrático, o numerador é uma expressão linear desconhecida Bx + C.

∫ A/x + [Bx + C]/[x²-4] dx

• Para obter os valores desconhecidos, coloque a soma das frações igual à fração original.

∫ [3x+1]/[x.(x²-4)] = A/x + [Bx+C]/[x²-4] dx

• Multiplique os membros da equação por x . (x² - 4).

∫ 3x + 1 = (x² - 4)A + x . (Bx + C) dx

• Feito isso, teremos:

∫ 3x + 1 = Ax² - 4A + Bx² + Cx dx

∫ 3x + 1 = Ax² + Bx² + Cx - 4A dx

∫ 3x + 1 = (A + B)x² + Cx - 4A dx

• Quando dois polinómios são iguais, os seus coeficientes correspondentes têm de ser iguais.

{1 = - 4A ⇒ - 4A = 1 ⇒ A = - 1/4

{3 = C ⇒ C = 3

{0 = A + B ⇒ A + B = 0

• A + B = 0

- 1/4 + B = 0

B = 1/4

S = {(A , B , C) = (- 1/4 , 1/4 , 3)}

• Substitua os valores dados na decomposição parcial fracional formada.

∫ [- 1/4]/x + [1x/4+3]/[x²-4] dx

∫ [- 1/4]/x + [x+12/4]/[x²-4] dx

∫ - 1/4x + [x+12]/[4(x²-4)] dx

- ∫ 1/4x dx + ∫ [x+12]/[4(x²-4)] dx

• Resolvendo a integral definida por partes.

• - 1/4 . ∫ 1/x dx

- 1/4 . In(|x|)

• ∫ [x+12]/[4(x²-4)] dx

1/4 . ∫ [x+12]/[4(x²-4)] dx

1/4 . ∫ x/[x²-4] + 12/[x²-4] dx

1/4 . (∫ x/[x² - 4] dx + ∫ x/[x² - 4] dx)

1/4 . (1/2 . In(|x² - 4|) + 3In(|[x-2]/[x+2]|))

1/8 . In(|x² - 4|) + 3/4 . In(|[x-2]/[x+2]|)

• Faça a soma da constante de integração C ∈ IR.

- 1/4 . In(|x|) + 1/8 . In(|x² - 4|) + 3/4 . In(|[x-2]/[x+2]|) + C , C ∈ IR

Att. Makaveli1996