Question

Um projétil de massa 50g é atirado horizontalmente com velocidade inicial V0 contra um pêndulo vertical de comprimento 1,5m, cuja massa é de 2Kg. O projétil colide com o pêndulo e, devido ao choque, o conjunto se move até uma altura de 80cm. Adote g = 10m/s² e determine: a) A velocidade com que o projétil colide no pêndulo. b) O trabalho da força de atrito durante a colisão c) Determine a tração no fio de pêndulo quando esse atingir a altura máxima de 80cm

Answer 1

Um projétil de massa 50g é atirado horizontalmente com velocidade inicial V0 contra um pêndulo vertical de comprimento 1,5m, cuja massa é de 2Kg. O projétil colide com o pêndulo e, devido ao choque, o conjunto se move até uma altura de 80cm.

Adote g = 10m/s² e determine:

massa da bala (mb) = 50g = 0,05 kg

massa do pendulo (mp) = 2kg

massa do conjunto (M)= 2,05 kg

altura alcançada = 80 cm = 0,8 metros

Vamos a algumas considerações antes dos cálculos.

Trata-se de um problema de conservação da energia mecânica (Emc), que corresponde a soma da energia cinética (Ec) e a energia potencial gravitacional (Ep).

$E_{mc}=E_c+E_p\\E_c= \frac{m\times v^{2} }{2}\\ E_p=m\times g \times h$

A energia mecânica inicial deve ser igual a energia mecânica no final da colisão.

$E_{mc}i=E_{mc}f$

Então, antes da colisão temos o pêndulo em repouso, ou seja, velocidade nula. E o projetil (bala) com velocidade V.

Ao colidirem pêndulo e projetil adquirem uma nova velocidade Vc (velocidade do conjunto) e a massa do conjunto será M=mb+mp. -- nesse momento teremos a energia mecânica inicial --

$E_{mc}i=\frac{M\times Vc^{2}}{2}$

No fim da colisão, quando o pêndulo for suspenso 80 cm haverá energia potencial gravitacional. Porém não haverá mais velocidade.

$E_{mc}f=M\times g \times h\\E_{mc}f= M\times 10 \times 0,8 = 8M$

- Agora vale ressaltar que a QUANTIDADE DE MOVIMENTO TOTAL também se conserva -

$Q_ti=Q_tf$

A quantidade de movimento é o produto da velocidade pela massa.

$Q=m \times v$

- No pêndulo a quantidade de movimento é NULA

A) A velocidade com que o projétil colide no pêndulo.

- energia mecânica -

$E_{mc}i=E_{mc}f$

$\frac{M\times Vc^{2}}{2}=8M\\\\Vc^{2}=16\\ Vc=4m/s$

A velocidade do conjunto é Vc = 4m/s.

- quantidade de movimento total -

$m_b\times V + m_p\times 0 = M \times Vc\\0,05\times V = 2,05 \times 4\\V=164 m/s$

A velocidade do projetil é de 164 m/s.

B) O trabalho da força de atrito durante a colisão

- O trabalho da força de atrito pode ser obtido pela variação da energia cinética -

$Wfat=E_cf-E_ci\\Wfat= 0 - \frac{2,05\times 4^{2} }{2}\\ Wfat=-16,4J$

C) Determine a tração no fio de pêndulo quando esse atingir a altura máxima de 80cm

Para determinar a tração no fio primeiro devemos identificar o angulo formado entre as posições inicial e final, afim de descobrir valor do cosseno.

E também é necessário decompor o vetor tração. [veja na imagem]

- Para achar o cosseno do angulo: a posição inicial e final do pendulo formará um triangulo com lados sendo a medida do pêndulo (1,5m) e o outro a medida de diferença entre a medida do pêndulo altura que foi suspenso (1,5-0,8 = 0,7m)

O peso do conjunto vale:

$Pc= M\times g\\Pc= 2,05\times 10 = 20,5N$

O cosseno de teta vale:

$cos\theta=\frac{0,7}{1,5}$

Decompondo as forças teremos:

T.cosθ = P

portanto a tração será aproximadamente 43,9N