Question

Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo -se que o primeiro termo é -5 e o último é 16???????​

Answer 1

Resposta:

Para calcular o número de termos da PA recorremos à seguinte fórmula:

an = a1 + (n -1).r

an = a1 + (n -1).r

16 = -5 + ( n - 1).3

16 = -5 + 3n - 3

-3n = -5 - 3 - 16

-3n = -8 - 16

-3n = - 24 (-1)

3n = 24

n = 24/3

n = 8 que é o número de termos

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Progressão Aritmética

   Esta progressão é definida como sendo uma sequência de termos, os quais vamos seguir sempre a ideia de que um dado termo enésimo é sempre o anterior mais a razão (r). Ou seja,

$a_n=a_{n-1}+r$

  1. Vamos determinar, agora, o termo geral:

$a_n=a_{n-1}+r\\\\a_{n-1}=a_{n-2}+r\\\\a_{n-2}=a_{n-3}+r\\.~~~~~~~~~~~~.\\.~~~~~~~~~~~~.\\.~~~~~~~~~~~~.\\a_3=a_2+r\\\\a_2=a_1+r$

   Somaremos as equações:

$a_n=\diagup \! \! \! \! \!a_{n-1}+r\\\\ \diagup \! \! \! \! \!a_{n-1}=\diagup \! \! \! \! \!a_{n-2}+r\\\\\diagup \! \! \! \! \!a_{n-2}=\diagup \! \! \! \! \!a_{n-3}+r\\.~~~~~~~~~~~~.\\.~~~~~~~~~~~~.\\.~~~~~~~~~~~~.\\\diagup \! \! \! \! \!a_3=\diagup \! \! \! \! \!a_2+r\\\\\diagup \! \! \! \! \!a_2=a_1+r$

   Após isso, ficamos com:

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

Dados:

$a_1=-5~~~~\wedge~~~~r=3$

   Além disso, podemos calcular também a soma dos n primeiros termos da P.A.. Observe:

$S_n=a_1+a_2+a_3+(...)+a_{n-1}+a_n$

   Usamos, então, a equação dor termo geral para todos aqueles termos diferentes de $a_1$. Logo,

$S_n=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+(...)+(a_1+(n-2)r)+(a_1+(n-1)r)$  ⇔

$S_n=n\cdot a_1+r\cdot [1+2+(...)+(n-1)]$

   Nesta última expressão temos uma soma interna. Note que ela também é uma P.A. e vamos resolver da seguinte forma: façamos o primeiro termo somado ao último (α).

$(n-1)+1=n\\\\(n-2)+2=n\\\\(n-3)+3=n$

   Observe que a soma sempre resultará no mesmo valor constante. Então, basta multiplicarmos esse valor pelo número de pares somados. Daí,

$S_n=n\cdot a_1+r\cdot [1+2+(...)+(n-1)]\rightarrow S_n=n\cdot a_1+r\cdot [\dfrac{n\cdot (n-1)}{2}]$

$S_n=\dfrac{2n\cdot a_1+n\cdot r(n-1)}{2} \rightarrow S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}.$

   Para resolvermos a questão, basta calcularmos quantos termos há utilizando a fórmula do termo geral:

   $a_n=16\leftrightarrow a_1+(n-1)\cdot 3=16\leftrightarrow -5+3n-3=16\leftrightarrow 3n=24$

   $\leftrightarrow n=\frac{24}{3}=8~termos.$

Obs.:

   A ideia expressa em (α) é utilizada para provar a soma da P.A. de modo mais rápido e prático, contudo optei por fazer dessa forma mostrada; pois é mais natural fazer a soma dessa forma.

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