Question

os pontos A(3,4) e B(1,-2) s]ao equidistantes de P(0,y). Determine y

Answer 1

Se dois pontos são equidistantes, quer dizer que eles possuem a mesma distância, ou seja, no nosso caso o ponto A é equidistante a P e B também é equidistante de P, logo a distância de A para P é a mesma distância de B para P, podemos escrever isso como:

$\orange\bigstar \: \: \sf D_{A,P }= D_{B,P} \: \: \orange\bigstar$

Com essa relação que montamos, matamos a questão, pois basta calcular a distância de A para P e a distância de B para P e no final igualar essas duas distâncias.

• Distância (A,P):

Para calcular essa distância, usaremos a fórmula da distância entre dois pontos, dada por:

$\sf D_{A,P} = \sqrt{(x_p-x_a)^{2} + (y_p-y_ a)^{2}}$

Vamos identificar os valores de Xp, Xa, Yp e Ya:

$\begin{cases} \sf A(3,4) \rightarrow x_a = 3 \: \: \: \: y_a = 4 \\ \sf P(0,y ) \rightarrow \sf x_p = 0 \: \: \: \: \: y_p = y \end{cases}$

Substituindo os dados:

$\sf D_{A,P} = \sqrt{(x_p-x_a)^{2} + (y_p-y_ a)^{2}} \\ \sf D_{A,P} = \sqrt{(0 - 3) {}^{2} + (y - 4) {}^{2} } \\ \sf D_{A,P} = \sqrt{( - 3) {}^{2} + ( y - 4).(y - 4) } \\ \sf D_{A,P} = \sqrt{9 + y.y - 4y - 4y + 4.4 } \\ \sf D_{A,P} = \sqrt{y {}^{2} - 8y + 25 }$

• Distância (B,P):

Do mesmo jeito vamos usar a mesma fórmula:

$\sf D_{B,P} = \sqrt{(x_p-x_b)^{2} + (y_p-y_ b)^{2}}$

Identificando os valores:

$\begin{cases} \sf B(1,-2) \rightarrow x_b = 1\: \: \: \: y_b = - 2 \\ \sf P(0,y ) \rightarrow \sf x_p = 0 \: \: \: \: \: y_p = y \end{cases}$

Substituindo:

$\sf \sf D_{B,P} = \sqrt{(x_p-x_b)^{2} + (y_p-y_b)^{2}} \\ \sf D_{B,P} = \sqrt{(0 - 1) {}^{2} + (y - ( - 2)) {}^{2} } \\ \sf D_{B,P} = \sqrt{( - 1) {}^{2} + (y + 2) {}^{2} } \\ \sf D_{B,P} = \sqrt{1 + (y + 2).(y + 2)} \\ \sf D_{B,P} = \sqrt{1 + y.y + 2.y + 2.y + 2.2} \\ \sf D_{B,P} = \sqrt{y {}^{2} + 4y + 5 }$

Agora como eu disse no começo, devemos igualar esses dois valores:

$\sf d_{A,P }= d_{B,P} \\ \sf\sqrt{y {}^{2} - 8y + 25 } = \sqrt{y {}^{2} + 4y + 5 }$

Para sumir com essas raízes, devemos elevar ambos os membros ao quadrado:

$\sf \cancel{y {}^{2}} - 8y + 25 = \cancel{ y {}^{2}} + 4y + 5 \\ \sf 4y + 8y = 25 - 5 \\ \sf 12y = 20 \\ \sf y = \frac{20}{12} \\ \sf y = \frac{5}{3}$

Espero ter ajudado