Question

As derivadas parciais são aplicadas em várias áreas da Física e das Engenharias. Três
equações importantes são a equação de onda tridimensional, a equação de condução
de calor unidimensional e a equação de Laplace tridimensional.
Mostre que a função F(x, y) = ln ( (x2 + y2 ) satisfaz à equação de Laplace bidimensional
2 2
2 2 f f 0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
.

Answer 1

Ecuación de Laplace
$\displaystyle \boxed{\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0}\\ \\ \\ F(x,y)=\ln(x^2+y^2)\\ \\ \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2}\\ \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{2(x^2+y^2)-2x(2x)}{(x^2+y^2)^2}\\ \\ \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}\;\cdots\cdots\textcircled{1}$

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2y}{x^2+y^2}\\ \\ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2(x^2+y^2)-2y(2y)}{(x^2+y^2)^2}\\ \\ \\ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} \;\cdots\cdots\textcircled{2}$

Sumando (1) y (2) se demuestra la ecuación de Laplace.