Question

AJUDA EM MATEMÁTICA, POR FAVOR:

Na figura, a parábola tem equação y = 4x^2 e triângulo OAB tem área 54.

A soma das coordenadas do ponto B é:

Resposta: 39

Gostaria de saber a resolução dessa questão, por favor.
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{B~(3,~36)~|~x_B+y_B=39}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos acerca de parábolas.

Como podemos ver, dada a função quadrática $f(x)=4x^2$, seu vértice está nas coordenadas $(0,~0)$.

Logo, considere as coordenadas do ponto $A$ como $(a, 0)$, visto que ele está sobre o eixo das abscissas e o ponto $B$ é imagem do ponto $A$ na parábola.

Isto significa que o ponto $B$ tem coordenadas dependentes da posição de $A$, ou seja, suas coordenadas são $(a,~4a^2)$.

Dessa forma, descobrimos qual é a distância entre os pontos $A$ e $B$, que já nos serve de medida para um dos catetos deste triângulo.

O outro cateto será a distância entre o ponto A e o vértice. Mas como vimos que o vértice está na origem, isto significa que o cateto mede $a$.

O enunciado nos disse que a área deste triângulo é 54. Lembre-se que a área de um triângulo retângulo de base $b$ e altura $h$ é dado pela fórmula $S=\dfrac{b\cdot h}{2}$, logo aplique os valores que descobrimos

$S=\dfrac{a\cdot 4a^2}{2}$

Substitua o valor da área $S=54$ e multiplique os valores

$54=\dfrac{4a^3}{2}$

Simplifique a fração

$54=2a^3$

Divida ambos os lados por 2, para isolar o valor de $a$

$a^3=27$

Retire a raiz cúbica em ambos os lados

$a=3$

Feito isso, podemos substituir o valor de $a$ nas coordenadas genéricas que definimos para $B$, que eram $(a,~4a^2)$

Ficamos com $B~(3,~4\cdot3^2)$

Calcule a potência e multiplique os valores

$B~(3,~36)$

Como buscávamos a soma das coordenadas do ponto $B$, some os valores

$3+36=39$

Esta é a resposta da questão.