Question

As raízes da equação x³ − 9x² + 23x − 15 = 0 , colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é

Answer 1

Resposta:

400

Explicação passo-a-passo:

x³ - 9x² +23x - 15 = 0

colocando x em evidencia:

x (x² - 9x + 23) = 15

ou seja x . (x² - 9x + 23) precisa ser igual a 15, assim temos que (x² - 9x + 23) pode ser igual a 3 ou 5, vou usar sendo igual a 3.

x² - 9x + 23 = 3

x² - 9x + 20 = 0

Soma e produto:

Soma = -b = 9

Produto = c = 20

Raízes são 4 e 5 positivo. Esses valores são os valores de x que fazem a equação x² - 9x + 23 ser igual a 3.

Assim, temos:

x . (x² - 9x + 23) = 15

Para x = 5, teremos:

5 . (3) = 15 correto.

Para x = 4, teremos:

4 . (3) = 15 (o valor quatro não serve)

Assim, temos que uma das raízes da equação é 5.

Usando Briott ruffini, para simplificar a equação:

x³ - 9x² + 23x -15 = 0

    1          - 9              +23             -15

5   1         -4                +3                 0

Assim, a equação simplificada é:

x² -4x +3 = 0

Resolvendo por soma e produto:

Soma = -b = 4

Produto = c = 3

Assim, as raízes são 1 e 3.

A ordem crescente das raízes é 1, 3 e 5. Como ele fala que são os primeiros termos de uma P.A, temos que a razão será:

a2 - a1 = 3 - 1 = 2

R = 2

Assim, para encontrar a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A precisamos ter os valores dos termos a1 e a20. O a1 = 1 o a20 será:

a20 = a1 + R (n-1)

a20 = 1 + 2 (20-1)

a20 = 1+ 2 . (19)

a20 = 1 + 38 = 39

Pronto, tendo o primeiro e o último termo basta usar a fórmula da soma da P.A para os 20 primeiros termos:

S = (a1 + a20) . n/2

Onde, n = número de termos = 20

S = (1 + 39) . 20/2

S = 40 . 10 = 400