Question

ATIVIDADE 2
1). Os números reais n-6, n-4, 2n-11 são os três primeiros termos consecutivos de uma progressão
geométrica crescente. O quarto termo dessa P.G. é​

Answer 1

O quarto termo dessa P.G. é 27/2.

Se a sequência (n - 6, n - 4, 2n - 11) é uma progressão geométrica, então é correto dizer que:

(n - 4)/(n - 6) = (2n - 11)/(n - 4)

(n - 4)(n - 4) = (2n - 11)(n - 6)

n² - 8n + 16 = 2n² - 12n - 11n + 66

n² - 8n + 16 = 2n² - 23n + 66

n² - 15n + 50 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-15)² - 4.1.50

Δ = 225 - 200

Δ = 25.

Como Δ > 0, então existem duas soluções reais distintas para a equação do segundo grau:

.

Se n = 5, a progressão geométrica será: (-1,1,-1).

Se n = 10, a progressão geométrica será: (4,6,9).

Como a P.G. é crescente, então n = 10.

A razão é igual a 6/4 = 3/2. Logo, o quarto termo é 9.3/2 = 27/2

Answer 2

Resposta: 27/2

Explicação:

Como são termos de uma P.G, então o próximo termo será dado pelo termo anterior dividido por a razão "r". Logo:

$a_{n+1}=r*a_n\\\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$

Como vale para qualquer "n";

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=...=r$

Agora, vamos para o problema:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2} \\\frac{n-4}{n-6}=\frac{2n-11}{n-4}\\ (n-4)^2=(n-6)(2n-11)\\n^2-8n+16=2n^2-23n+66\\(2n^2-23n+66)-(n^2-8n+16)=0\\n^2-15n+50=0$

Agora, é só resolver essa equação. Para salvar tempo e espaço aqui, vou resolver por soma e produto:

Soma: -(-15)/1= 15. Produto: (50)/1=50

Com isso, temos que n=10 ou n=5. Mas como sabemos qual usar? Bom, não sabemos, então vamos usar os dois:

(i) n= 10

Substituindo o valor de n, a sequência é {4, 6, 9,...}. É uma P.G. com razão crescente de 3/2. Logo, o quarto termo é 27/2.

(ii) n=5

Substituindo na sequência, o valor de n é {-1,1,-1,...}. É uma P.G. com razão oscilante e, por causa do enunciado, temos que desconsiderá-la.

Resposta: 27/2

Se estiver com alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^^