Matéria: Matemática
Autor: xpertguinho
Perguntado 6 anos atrás

Determine a equação da reta tangente à curva f(x)= x³ - 2x no ponto x= -1

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à referida curva pelo respectivo ponto de tangência é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = x + 2\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} y = x^{3} + 2x\\x = -1\end{cases}$

Observe que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}$

Para resolver esta questão, devemos:

Determinar as coordenadas do ponto de tangência "T" entre as curvas. Para isso, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} T = (X_{T},\,Y_{T})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[x,\,f(x)\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,(-1)^{3} - 2\cdot(-1)\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,-1 + 2\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \left[-1,\,1\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:T(-1, 1)\end{gathered}$}$

Calcular a declividade - coefiiciente angular - da reta tangente "t". Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função no ponto "T". Então, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = \frac{\partial}{\partial x}\codt f(x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\codt (x^{3} - 2x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3\cdot(-1)^{3 - 1} - 2\cdot1\cdot(-1)^{1 - 1}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3\cdot(-1)^{2} - 2\cdot(-1)^{0}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3 - 2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{t} = 1\end{gathered}$}$

Montar a equação da reta tangente "t". Para isso, devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$