Question

Determine o argumento do número complexo z = -3 -4i

Answer 1

Temos os seguinte número complexo:

$z = - 3 - 4i$

Sabemos que em um número complexo em sua forma algébrica (z = a + bi), ele possui duas partes, uma denominada de parte real que não contém a letra "i" e outra denominada de parte imaginária que contém a letra "i". Para calcular o argumento a primeira coisa que devemos fazer é identificar esses valores.

$z = - 3 - 4i \rightarrow \begin{cases}a = - 3 \\ b = - 4\end{cases}$

• Módulo:

Antes do argumento ainda vem o módulo, que é calculado através da relação de Pitágoras.

• O módulo é a distância da origem do plano até o afixo que representa o a coordenada dos pontos.

$\rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{( - 3) {}^{2} + ( - 4) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{9 + 16 } \\ \rho = \sqrt{25} \\ \rho = 5$

• Argumento:

O argumento pode ser calculado através das relações de seno e cosseno.

• O argumento é o ângulo formado em relação ao eixo real (x).

$\sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \: \: \: e \: \: \: cos \theta = \frac{a}{ \rho}$

Substituindo os dados:

$sen \theta = \frac{ - 4}{5} \: \: \: e \: \: \: cos \theta = \frac{ - 3}{5}$

Note que esses valores não são comuns na tabela de arcos notáveis, ou seja, vai ser um pouco difícil achar o argumento (ângulo).

• Para encontrar esse ângulo, vamos desenhar o plano de Argand-Gauss e dispor os pontos que possuímos.

Usarei o arcotangente para descobrir o ângulo.

$tan \theta = \frac{b}{a} \\ \\ tan \theta = \frac{ 4}{ 3} \\ \\ tan \theta = \frac{4}{3} \\ \\ \theta = arctan \left( \frac{4}{3} \right) \\ \\ \theta = 53.1301023542 \\ \\ \boxed{\theta \approx53 {}^{ \circ} }$

Espero ter ajudado