Question

Com relação ao ângulo alfa da figura, calcule tg 2a

Answer 1

Temos um triângulo retângulo que possui dois lados conhecidos que são 2 (Hipotenusa) e 1 (cateto qualquer), a partir desses lados a questão quer saber o valor da tangente do ângulo (2a).

• Para isso vamos realizar primeiramente Pitágoras, pois não podemos usar seno e cosseno, já que o ângulo é desconhecido e Pitágoras pode ser saída pelo motivo do triângulo ser retângulo.

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\\sf 2 {}^{2} = 1 {}^{2} + c {}^{2} \\\sf 4 = 1 + c {}^{2} \\\sf 4 - 1 = c {}^{2} \\\sf c {}^{2} = 3 \\\sf c = \sqrt{3}$

Temos então que a medida do outro cateto é de √3, com essa informação podemos encontrar a tg (a), pois como sabemos a tangente é o cateto oposto sobre a cateto adjacente.

$\sf tg \alpha = \frac{co}{ca} \\ \sf tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{1} \\ \sf \boxed{\sf tg \alpha = \sqrt{3} }$

• Para calcular de fato a tg (2a) devemos lembrar da fórmula do arco duplo para a tangente, dada por:

$\sf tg (2\alpha ) = \frac{2tg( \alpha )}{1 - tg {}^{2}( \alpha ) }$

Substituindo os dados;

$\sf tg(2 \alpha ) = \frac{2. \sqrt{3} }{1 - ( \sqrt{3} ) {}^{2} } \\ \\\sf tg(2 \alpha ) = \frac{2 \sqrt{3} }{1 - 3} \\ \\\sf tg(2 \alpha ) = \frac{2 \sqrt{3} }{ - 2} \\ \\ \sf \tg(2 \alpha ) = \frac{ \cancel2 \sqrt{3} }{ - 1. \cancel2} \\ \\\sf \boxed{ \sf tg(2 \alpha ) = - \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado