Question

Determine a razão entre a soma dos quadrados das medianas de um triângulo e a soma dos quadrados dos lados desse triângulo

Answer 1

Antes de tudo, lembre-se que em um triângulo qualquer, a razão (na ordem de escrita) entre a soma dos quadrados dos comprimentos de suas três medianas e a soma dos quadrados dos comprimentos de seus três lados é constante e igual a 3/4. Esta notável relação geométrica recebe o nome de Teorema de Booth. Agora, para provar este teorema, faremos uso (sem demonstrar) de um outro resultado da Geometria Plana, conhecido como Teorema da Mediana (também chamado Teorema de Apolônio). Este segundo teorema relaciona as medidas (comprimentos) dos lados de um triângulo com o comprimento da mediana relativa a um deles. Mais precisamente, ele afirma que qualquer triângulo de lados a, b e c, com medianas x, y e z, respectivamente relativas a estes lados, verifica as três seguintes igualdades:

$\sf{b^2+c^2=2x^2+\dfrac{\, a^2}{2}}\\\\\\ \sf{a^2+c^2=2y^2+\dfrac{\, b^2}{2}}\\\\\\ \sf{a^2+b^2=2z^2+\dfrac{\, c^2}{2}}$

Em seguida, adicionando membro a membro as equações acima, ficaremos com

$\sf {\qquad\quad\ \,\,2\big(a^2+b^2+c^2\big)=2\big(x^2+y^2+z^2\big)+\dfrac{\,a^2+b^2+c^2}{2}}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ 4\big(a^2+b^2+c^2\big)=4\big(x^2+y^2+z^2\big)+a^2+b^2+c^2}}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ 4\big(a^2+b^2+c^2\big)-\big(a^2+b^2+c^2\big)=4\big(x^2+y^2+z^2\big)}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ 3\big(a^2+b^2+c^2\big)=4\big(x^2+y^2+z^2\big)}\\\\\\ \sf{\quad \ \therefore\ \ \ \ \boxed{\!\sf \dfrac{\,x^2+y^2+z^2}{\,a^2+b^2+c^2}=\dfrac{3}{4}}}$

, como queríamos.

Resposta: a razão pedida é 3/4.