Question

Se alguém souber responder DE VERDADE pfvr me ajuda, é muito importante, desde já agradeço :)

Answer 1

Aviso que a solução contém muitas propriedades e requer um conhecimento prévio de propriedades da exponenciação e logaritmo. Qualquer dúvida pode me perguntar nos comentários!

Resposta: alternativa E.

Para que a função não tenha raízes, o delta tem que ser < 0.

b² - 4ac < 0 é a condição que impomos.

Substituindo os valores, lembrando que 0,5 = 1/2:

$4^2 - 4*2 log\frac{1}{2}(a)$ < 0

Solucionando a inequação passo a passo:

$16 - 8log_\frac{1}{2}(a) < 0$

$8log_\frac{1}{2}(a) < 16$

$log_\frac{1}{2}(a) < \frac{16}{8}$

$log_\frac{1}{2}(a) < 2$

Lembre-se que $\frac{1}{2} = 2^{-1}$

Portanto $log_\frac{1}{2}(a) = log_{2^{-1}}(a)$

E por uma propriedade do logaritmo, podemos jogar o expoente dividindo:

$log_{a^x}(p) = \frac{log_a(p)}{x}$

Logo, temos que:

$log_{2^{-1}}(a) = \frac{log2(a)}{-1}$ dividir por -1 é a mesma coisa que apenas trocar o sinal.

Então, recapitulando, precisamos que:

$-log_2(a) < 2$

Ou seja:

$log_2(a) > -2$ (quando invertemos os sinais na inequação, o símbolo de < se inverte também)

Vamos lembrar da definição de log:

Se eu tenho $log_b(a) = x$ significa que eu preciso elevar b a x pra conseguir ter A.

Por exemplo:

$log_2(8) = 3$ já que preciso elevar 2 a 3 para que eu consiga ter 8.

Sabemos que $log_2(\frac{1}{4}) = -2$ , sendo assim, qualquer número maior que 1/4 vai ter resultado > -2.

Alternativa E) A > 1/4