Question

como resolver a equacao modular: |x-5|=9?
explique.

Answer 1

*Primeiramente, definamos brevemente o significado de Módulo:
Módulo é uma distância, relevando "o zero como a origem". Não há módulo de valor negativo, pois o que é constado trata-se do quanto se afastou desse ponto.

Veja o seguinte trecho da reta numérica:

-2_ -1_0_1_2

Note os traços" _ "os quais inseri entre os números.
Se módulo é a distância, veja que de 0 a 2 existem dois traços; assim como de 0 a -2, logo:

l2l = l-2l = 2 "traços até o 0" (Correspondem a mesma distância)

Assim como:

l1l = l-1l = 1 "traço até o zero" (Correspondem a mesma distância)

Agora foquemos na Equação Modular:

lx - 5l = 9

Perceba que: não sabemos se o "x" possui uma medida superior positivo ou inferior a 5. Caso x fosse um valor superior positivo, poderíamos remover (x e -5) do módulo sem efetuar alterações (módulo de um número positivo é o próprio número). Se x fosse negativo, teríamos que tira-lo junto ao 5 do módulo, invertendo os "sinais" ( -x +5), pois (módulo de número negativo possui o mesmo valor numérico todavia com sinais opostos).

Como podemos notar, é de nossa posse duas opções:
Portanto, realizemos os cálculos:

lx - 5l = 9
x - 5 = 9              
x = 9 + 5
x = 14

ou

lx - 5l = 9
- x + 5 = 9
- x = 9 - 5
-x = 4
x = -4

Prova Real:

l14 - 5l = 9
l9l = 9 
9 = 9 VERDADEIRO

l-4 -5l = 9
l-9l = 9
9 = 9 VERDADEIRO

Logo, as soluções correspondentes a essa equação são: 14 e -4.

S ={ -4, 14}