Question

Calcule o valor do somatório:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}}$

Dica: use Série de Taylor

Answer 1

Problema de Basileia e a Ideia de Euler

   Desejamos calcular a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros.

   1. Verificar se a soma converge:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^2}=0\rightarrow converge$

   2. Vamos olhar para a série tayloriana  da função seno:

$sen\:x=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5-\dfrac{1}{7!}x^7+\dfrac{1}{9!}x^9-...$

   Dividindo ambos os lados da igualdade por x:

$\dfrac{sen\:x}{x}=1-\dfrac{1}{3!}x^2+\dfrac{1}{5!}x^4-\dfrac{1}{7!}x^6+...$

   3. Vamos usar o Teorema da Decomposição para relacionarmos os coeficientes da série de Taylor da função seno:

$f(x)=sen\:x$

   Note que as raízes de f(x) podem ser escritas da seguinte forma

$sen\:x=0\quad p/~x=\pm n\pi\quad onde~n\in \mathbb{N}$

   O mesmo vale para, contudo $x\neq 0$

$\dfrac{sen\:x}{x}=0\quad p/~x=\pm n\pi\quad onde~n\in\mathbb{N^*}$

   Sendo assim, faremos agora  $x\leftarrow\sqrt{x}.$ Daí,

$\dfrac{sen\:\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=1-\dfrac{1}{3!}x+\dfrac{1}{5!}x^2-\dfrac{1}{7!}x^3+...$

   Fazendo isso, as raízes da função passam a ser:

$r_1=\pi^2,~r_2=4\pi^2,~r_3=9\pi^2~,...~,r_n=n^2\pi^2...$

   Teorema da decomposição:

$P(x)=(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

   Pelas relações de Girard:

$a_0=(-1)^n\cdot r_1r_2r_3...r_n$

$a_1=(-1)^{n-1}\cdot[r_2r_3...r_n+r_1r_3...r_n+...+r_1r_2...r_{n-1}]$

   O termo independente é o produto de todas as raízes, ao passo que o coeficiente que o antecede é a soma das combinações dos produtos das raízes de modo a sempre deixar uma de fora do grupo. Fazendo:

$-\dfrac{a_1}{a_0}=\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+...+\dfrac{1}{r_n}$

   Assumiremos aqui que esta propriedade continua valendo para as séries de potências, visto que elas foram pensadas de modo a substituírem polinômios. Logo,

$-\dfrac{a_1}{a_0}=\dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2}+...$

   Buscaremos esses coeficientes na série de Taylor:

$a_0=1\quad \wedge\quad a_1=-\dfrac{1}{3!}$

   Feito isso, substituímos:

$-(-\dfrac{1}{3!}})=\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2}+...$

   Organizando:

$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{\pi^2}[1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...]\leftrightarrow \dfrac{\pi^2}{6}=\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{n^2.}$

Nota:

   Apesar se ser uma solução elegante, ela possui algumas passagens obscuras e por isso não é considerada uma solução rigorosa para o Problema de Basileia.

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30022870

https://brainly.com.br/tarefa/30037390

Answer 2

Critica a solução de Euler:

'séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado'

                                          Prova de Bernoulli.

O problema de Basileia requer três resultados preliminares.

1)

  $\frac{1}{2} .( sen^{-1} x)^{2} = \int\limits^x_0 {\frac{sen^{-1}t}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt$

2)

$sen^{-1} x = \int\limits^x_0 {\frac{1}{\sqrt{1- t^2} } } \, dt = \int\limits^x_0 {(1-t^2)^\frac{1}{2} } \, dx$

substituindo essa expressão sobre a integral por sua série binomial e integrar termino obtenho:

$sen^{-1} x = \int\limits^x_0( {1+ \frac{1}{2}t^2+\frac{1.3}{2^2.2!}t^4+\frac{1.2.5}{2^3.3!} t^6+ ... }) \, dt = t+ \frac{1}{2} . \frac{t^3}{3} + \frac{1.3}{2.4} . \frac{t^5}{5} +\frac{1.3.5}{2.4.6} . \frac{t^7}{7} + ...|^x _0 = x+ \frac{1}{2} . \frac{x^3}{3} + \frac{1.3}{2.4}. \frac{x^5}{5} + ...$

provemos que   $\int\limits^1_0 {\frac{t^{n+2}}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt = \frac{n+1}{n+2} . \int\limits^1_0 {\frac{t^{n}}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt$       para  $n\geq 1$ , com efeito, seja:

$J = \int\limits^1_0 {\frac{t^{n+2}}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt$                       vamos aplicar a integração por partes com

$u = t^{n+1} \\\\dv = \frac{t}{\sqrt{1-t^2} }$          obtendo:

$J= ( -t^{n+1}. \sqrt{1-t^2} ) |^1 _ 0+ ( n+1) \int\limits^1_0 {t^n.\sqrt{1-t^2} } \, dt = 0+( n+1). \int\limits^1_0 {\frac{t^n(1- t^2)}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt = ( n+1). \int\limits^1_0 {\frac{t^n}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt - ( n+1)J$

Portanto:

$(n+2)J= (n+1).\int\limits^1_0 {\frac{t^n}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt$

agora  vamos fazer a montagem das componentes para re-provar a sua formula.

$\frac{\pi ^{2} }{8} = \frac{1}{2} . (sen^{-1} 1)^2= \int\limits^1_0 {\frac{sen^{-1}t}{\sqrt{1- t^2} } } \, dt$

Agora vamos substituir por sua expansão em serie, e depois integre termino a termino:

$\frac{\pi ^{2} }{8} = \int\limits^1_0 {\frac{t}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt + \frac{1}{2.3} .\int\limits^1_0 {\frac{t^3}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt+ \frac{1.3}{2.4.5}. \int\limits^1_0 {\frac{t^5}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt+ ....$

sabendo que:

$\int\limits^1_0 {\frac{t}{\sqrt{1-t^2} } } \, dt = 1$

avaliamos as outras integrais usando recursão:

$\frac{\pi ^{2} }{8} = 1+ \frac{1}{2.3} [\frac{2}{3} ] + \frac{1.3}{2.4.5} . [ \frac{2}{3} . \frac{4}{5} ] + ... = 1+ \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + ...$

um somatório envolvendo apenas quadrados impares.

Agora vamos calcular qual a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros.

∑$^{infinito}$    $\frac{1}{k^2}$          (  somatório de um sobre k elevado ao quadrado.)

 k=1

a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros.

=

$[ 1+\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + ...]+ [ \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{36} + ...]$

=

$[ 1+\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + ...]+ \frac{1}{4} [ \frac{1}{} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ...]$

=

  vezes a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros:

vezes  o a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros.

 = $\frac{\pi ^{2} }{8}$

E assim:

a soma dos inversos dos quadrados dos inteiros.

= $\frac{4}{3} . \frac{\pi ^2}{8} = \frac{\pi ^2}{6}$

Resposta: $\frac{\pi ^{2} }{6}$