Question

A equação de circunferência de centro c(5,0)e que é tangente a reta r:4x-3y+10=0 É

Answer 1

Resposta:

$36 = (x - 5)^{2} + y^{2}\\x^{2} + y^{2} - 10x - 11 = 0$

Explicação passo-a-passo:

Sabe-se que a equação reduzida da circunferência tem o seguinte formato:

$r^{2} = (x - xc)^{2} + (y - yc)^{2}$, onde r é o raio, xc e xy são as coordenadas do centro.

Substituindo os valores, temos:

$r^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 0)^{2}\\r^{2} = (x - 5)^{2} + y^{2}$

O que precisamos para completar a equação reduzida é o raio. Para isso, sabemos que a distância (D) entre o centro (c) e a reta (s) é igual ao raio (r) (Dsc = r). A fórmula para distância entre ponto e reta é $D = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } }$ onde a, b e c são coeficientes da reta e x e y são as coordenadas do ponto.

$D = r = \frac{|4*5 + 3*0 + 10|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} } }\\D = r = \frac{|20 + 0 + 10|}{\sqrt{16 + 9 } }\\D = r = \frac{|30|}{\sqrt{25} }\\D = r = \frac{30}{5} = 6$

Portanto, agora temos a equação reduzida da circunferência:

$6^{2} = (x - 5)^{2} + y^{2}\\36 = (x - 5)^{2} + y^{2}$

Agora iremos desenvolver o polinômio para chegarmos a equação geral da circunferência:

$36 = x^{2} + 2*x*(-5) + (-5)^{2} + y^{2} \\36 = x^{2} - 10x + 25 + y^{2} \\x^{2} + y^{2} - 10x - 11 = 0$