Question

Qual é a posição relativa das circunferência: a= x² + y² +2x-4y + 1 = 0 e b= (x-3)² + (y+1)²= 9.

a) Exteriores
b) Tangentes exteriores
c) Interiores
d) Secante

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~Tangentes~exteriores}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão de posição relativa entre circunferências, devemos relembrar de alguns detalhes.

As circunferências podem ser tangentes internas ou externas, interiores, exteriores ou secantes.

Para cada caso, a distância entre seus centros e sua relação com os raios da circunferência nos diz como elas estão relacionadas. Logo considerando $d$ como a distância entre seus centros, temos:

• Quando $d=r_1+r_2$, as circunferências são tangentes externas
• Quando $d=r_1-r_2$, as circunferências são tangentes internas
• Quando $d>r_1+r_2$, as circunferências são externas
• Quando $d<r_1-r_2$, as circunferências são internas
• Quando $r_1-r_2<d<r_1+r_2$, as circunferências são secantes

Portanto, devemos primeiro encontrar as coordenadas dos centros das circunferências e as medidas dos raios

Como podemos ver, a primeira equação está na forma geral. Utilizaremos o método de completar quadrados para encontrar sua forma reduzida

Seja a circunferência de equação $x^2+y^2+2x-4y+1=0$

Some $4$ em ambos os lados da equação

$x^2+y^2+2x-4y+1+4=4$

Reorganize os termos

$x^2+2x+1+y^2-4x+4=4$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos

$(x+1)^2+(y-2)^2=4$

Comparando esta equação com uma equação reduzida de uma circunferência $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, na qual $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $r$ é a medida do raio.

Teremos então que as coordenadas do centro são em $(-1,~2)$ e o raio mede $2$.

Já a outra equação veio reduzida, logo comparando a uma equação genérica, descobrimos que as coordenadas do centro estão em $(3,-1)$ e o raio mede $3$.

Para calcularmos a distância entre os centros, usaremos a fórmula $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Substitua as coordenadas do centro na fórmula

$d=\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}$

Efetue a propriedade dos sinais e some os valores dentro dos parênteses

$d=\sqrt{(-4)^2+(3)^2}$

Calcule as potências

$d=\sqrt{16+9}$

Some os valores

$d=\sqrt{25}$

Sabendo que $25=5^2$, simplifique a raiz

$d=5$

Logo, ao calcularmos as relações

$r_1+r_2=3+2=5$ e $r_1-r_2=3-2=1$

Podemos ver que $d=r_1+r_2$.

Portanto, as circunferências são tangentes exteriores.