Question

integrais indefinidas

(x2+2)(x+4)dx​

Answer 1

Pelo enunciado, eu creio que a integral seja dada por:

$\sf \int[(x {}^{2} + 2).(x + 4)]dx$

Primeiro vamos realizar o produto dessas expressões:

$\sf (x {}^{2} + 2).(x + 4) = \sf \\ \sf x {}^{2} .x + x {}^{2} .4 + 2.x + 2.4 = \\ \sf \: \: \bigstar \: x {}^{3} + 4x {}^{2} + 2x + 8 \: \: \bigstar$

Substituindo essa nova expressão no seu devido local:

$\sf \int (x {}^{3} + 4 {x}^{2} + 2x + 8 )dx$

Vamos usar a seguinte propriedade de integral:

$\sf \int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

Essa propriedade serve para várias funções sendo somadas, como é o nosso caso, usando essa propriedade vamos ficar com:

$\sf \int (x {}^{3} + 4 {x}^{2} + 2x + 8 )dx = \int x {}^{3} dx + \int 4x {}^{2} dx + \int 2xdx + \int 8dx$

Em cada uma dessas integrais usaremos a integral imediata dada por:

$\bigstar \: \: \sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} \: \: \bigstar$

Aplicando:

$\sf \int x {}^{3} dx + \int 4x {}^{2} dx + \int 2xdx + \int 8dx = \\ \\ \sf \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + 4. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{2x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \frac{8x {}^{0 + 1} }{0 + 1} = \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{4x {}^{3} }{3} + \frac{2x {}^{2} }{2} + \frac{8x}{1} = \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{4x {}^{3} }{3} + x {}^{2} + 8x + C$

Por fim concluímos que:

$\boxed{ \sf \int[(x {}^{2} + 2).(x + 4)]dx = \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{4x {}^{3} }{3} + x {}^{2} + 8x +C }$

Espero ter ajudado.