Question

Determine a distância focal da hipérbole de equação x²/16 _ y²/25= 1. A) 1 B) √10 C) √41 D) 9

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d_{F_1F_2}=2\sqrt{41}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Temos que calcular a distância focal da hipérbole de equação $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{25}=1$. Para isso, devemos relembrar alguns conceitos.

A equação reduzida de uma hipérbole com eixo real na horizontal e centro em $(x_c,~y_c)$ é dada por $\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$, na qual $a$ é a metade da medida do eixo real, enquanto $b$ é a metade da medida do eixo imaginário.

Comparando a equação que temos a uma equação reduzida genérica, descobrimos que as coordenadas do centro são $(0,~0)$ e as medidas $a^2 = 16$ e $b^2=25$.

Aqui, não necessitamos encontrar os valores de $a$ e $b$ propriamente, pois em hipérboles, existe uma fórmula que, por meio do Teorema de Pitágoras, relaciona a metade da medida da distância focal, dada por $c$ e as medidas dadas anteriormente.

Então, temos que:

$c^2=a^2+b^2$

Substitua os valores de $a^2$ e $b^2$

$c^2=16+25$

Some os valores

$c^2=41$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$c=\pm\sqrt{41}$

Como se trata de uma figura geométrica, ficamos somente com a solução positiva. Ou seja, $c=\sqrt{41}$

Por fim, foi dito anteriormente que $c$ equivale a metade da medida da distância focal. Logo, considerando $d_{F_1F_2}=2\cdot c$,

Substitua o valor de $c$

$d_{F_1F_2}=2\cdot \sqrt{41}$

Este é o valor da distância focal desta elipse.