Question

Dados os pontos A(1, 2), B(2, 9) e C(4, 3), obtenha a equação reduzida da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC

opções
a)y = 2x + 4
b)y = 2x
c)y = 4x - 2
d)y = -2x -2
e)y = -2x


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Answer 1

Primeiro vamos calcular o ponto médio BC, para isso basta você somar as abscissas e ordenadas desses dois pontos e tirar a média dos mesmos, isso resultará no ponto médio:

• Temos o seguintes dados:

$\sf B(2, 9) \rightarrow x_b = 2 \: \: \: \: \: \: y_b =9 \\ \sf C(4, 3) \rightarrow x_c = 4 \: \: \: \: \: \: y_c = 3$

Substituindo esses dados na fórmula:

$\sf X_m = \frac{x_b + x_c}{2} \: \: \: \: e \: \: \: \: Y_m = \frac{y_b + y_c}{2} \\ \\ \sf X_m = \frac{2 + 4}{2} \: \: \: \: e \: \: \: \: \: Y_m = \frac{3 + 9}{2} \\ \\ \sf X_m = \frac{6}{2} \: \: \: \: e \: \: \: \: \: Y_m = \frac{12}{2} \\ \\ \sf X_m = 3 \: \: \: \: e \: \: \: \: Y_m = 6 \\ \\ \sf P_m(3,6)$

Após encontrar o valor do ponto médio, a questão quer saber qual é a equação da reta formada pelo ponto médio BC e o ponto A, para isso teremos que encontrar o valor de "m" (coeficiente angular). Tal coeficiente angular é calculado através da subtração das ordenadas sobre a subtração das abscissas.

• Organizando os dados:

$\sf A(1, 2) \rightarrow x_a= 1\: \: \: \: \: \: y_a=2 \\ \sf P_m(3,6) \rightarrow x_m= 3 \: \: \: \: \: \: y_m = 6$

Substituindo na fórmula:

$\sf m = \frac{y_m - y_a}{x_m - x_a} \\ \\ \sf m = \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ \\ \sf m = \frac{4}{2} \\ \\ \boxed{\sf m = 2}$

Por fim substitua o valor de um dos pontos A ou Ponto médio na equação fundamental da reta, como uma forma de facilitar o cálculo escolherei o ponto A.

$\sf A(1,2) \rightarrow x_a = 1\:\:\: \: y_a = 2$

Substituindo:

$\sf y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \sf y - 2 = 2 .( x - 1) \\ \sf y - 2 = 2x - 2 \\ \sf y = 2x - 2 + 2\\ \boxed{ \sf y = 2x}$

Espero ter ajudado