Question

Encontre os limites abaixo

Answer 1

Nessas condições de limites no infinito, a manipulação que deve ser feita para avaliar o limite da função é a de dividir numerador e denominador pelo termo de maior potência do denominador:

a)

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{3 - 2 x}{5 x + 1}\\\\\\\textrm{Dividindo numerador e denominador por x:}\\\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\dfrac3x - 2 }{5 + \dfrac1x}\\\\\\\\\textrm{Avaliando os limites quando x tende ao infinito positivo:} \\\\\textrm{As express\~oes }\dfrac3x\textrm{ e }\dfrac1x\textrm{ tendem a zero quando x tende ao infinito positivo. }\\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\dfrac3x - 2 }{5 + \dfrac1x}=-\dfrac{2 }{5}$

b)

$\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{4x - 3}{3 x + 2}\\\\\\\textrm{Dividindo numerador e denominador por x:}\\\\\\=\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{4 -\dfrac3x }{3 + \dfrac2x}\\\\\\\\\textrm{Avaliando os limites quando x tende ao infinito negativo:} \\\\\textrm{As express\~oes }\dfrac3x\textrm{ e }\dfrac2x\textrm{ tendem a zero quando x tende ao infinito negativo. }\\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{4 -\dfrac3x }{3 + \dfrac2x}=\dfrac{4 }{3}$

c)

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^2-4}{x + 1}\\\\\\\textrm{Dividindo numerador e denominador por }x:\\\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x-\dfrac4x}{1+\dfrac1x}\\\\\\\\\textrm{Avaliando os limites quando x tende ao infinito positivo:} \\\\\textrm{As express\~oes }\dfrac4x\textrm{ e }\dfrac1x\textrm{ tendem a zero quando x tende ao infinito positivo. }\\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x-\dfrac4x}{1+\dfrac1x}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x}{1}\\\\\\=+\infty$

d)

$\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^3-1}{x^2 + 1}\\\\\\\textrm{Dividindo numerador e denominador por }x^2:\\\\\\=\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x-\dfrac1{x^2}}{1+\dfrac1{x^2}}\\\\\\\\\textrm{Avaliando os limites quando x tende ao infinito negativo:} \\\\\textrm{A express\~ao }\dfrac1{x^2}\textrm{ tende a zero quando x tende ao infinito negativo. }\\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x-\dfrac1{x^2}}{1+\dfrac1{x^2}}=\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x}{1}\\\\\\=-\infty$

e)

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^2-3x+4}{3x^3+5x^2-6x+2}\\\\\\\textrm{Dividindo numerador e denominador por }x^3:\\\\\\=\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{\dfrac1x-\dfrac3{x^2}+\dfrac4{x^3}}{3+\dfrac5x-\dfrac6{x^2}+\dfrac2{x^3}}$

$\textrm{Avaliando os limites quando x tende ao infinito negativo:} \\\\\textrm{As express\~oes fracion\'arias do numerador e do denominador tendem a 0}\\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{\dfrac1x-\dfrac3{x^2}+\dfrac4{x^3}}{3+\dfrac5x-\dfrac6{x^2}+\dfrac2{x^3}}=\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{0}{3}=0$

$\textrm{Considere dar }\star\star\star\star\star\textrm{ e marcar como melhor resposta.}$