• Matéria: Matemática
  • Autor: Anônimo
  • Perguntado 9 anos atrás

Calcule \int (\sqrt{1 + x^2} + 2x) dx

Respostas

respondido por: carlosmath
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\displaystyle
I=\int \sqrt{1+x^2}\,dx +\int 2x\,dx\\ \\
I=\int \sqrt{1+x^2}\,dx +x^2

calculemos

\displaystyle
J=\int \sqrt{1+x^2}\,dx\\ \\
\text{Seja }x=\sinh u\to dx = \cosh u \,du\\ \\
J=\int \sqrt{1+\sinh^2u}\,\cosh u \,du\\ \\
J=\int \cosh u\cdot \cosh u \,du\\ \\
J=\int \cosh^2 u \,du\\ \\
J=\int \dfrac{\cosh(2u) + 2}{4} \,du

\displaystyle
J=\dfrac{1}{4}\int \cosh(2u) \,du + \int \dfrac{1}{2} \,du\\ \\
J=\dfrac{1}{8}\sinh(2u) +\dfrac{u}{2}\\ \\
J=\dfrac{1}{2}\sinh u\cosh u +\dfrac{u}{2}\\ \\
J=\dfrac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\sinh^{-1}x \\ \\
J=\dfrac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|

finalmente

$\boxed{I=\dfrac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+x^2+C}$

Anônimo: Obrigado Carlos!! Eu estava esquecendo do x² no final...
Anônimo: A propósito, não fiz aplicando função hiperbólica, pois não sei. Inclusive, qual é a tua opinião sobre a importância dela no cálculo I?
carlosmath: Es que justo ayer ordenando unos archivos me topé con uno que estaba en francés (aunque no sé hablar francés, mucho menos portugués) sobre cálculo 1, y vi que hacían esta sustitución trigonométrica hiperbólica, yo solía hacerlo por sustitución trigonométrica circular, eso es lo que me llamo la atención, por su sencillez.
Anônimo: Gracias.
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