Question

calcule o seguinte límite lim x→∞(1/2x+3)

Answer 1

Resposta:

Olá!

Explicação passo-a-passo:

O cálculo do limite acima é, digamos, intuitivo. Quando o valor de x cresce infinitamente, o valor da função se aproxima infinitamente de zero.

$\huge{\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x + 3} = 0}}$

Porém, para termos certeza de que nossa conclusão é correta, vamos recorrer à definição de limite quando x tende ao infinito:

“O limite de uma função quando x tende ao infinito é igual a L se para cada δ > 0 existir um ε > 0 de maneira que, se x > δ, então | f(x) - L | > ε."

Para provar que nossa resposta é verdadeira, devemos demonstrar que, dado ε > 0, existe um δ > 0 que satisfaz a definição. Sigamos o raciocínio abaixo:

Tomemos ε = 1/(2.δ + 3). Agora, devemos demonstrar que, se x > δ, então | f(x) - L | < ε. Vejamos:

$x > \delta \Leftrightarrow \: 2x > 2 \delta$

$\Leftrightarrow \: 2x + 3 > 2 \delta + 3$

$\Leftrightarrow \: \frac{1}{2x + 3} < \frac{1}{2 \delta + 3}$

Visto que x cresce infinitamente, faz sentido adotá-lo como uma variável que assume valores positivos. Logo:

$\frac{1}{2x + 3} < \frac{1}{2 \delta + 3} \Leftrightarrow \: | \frac{1}{2x + 3} | < \frac{1}{2 \delta + 3}$

Note que:

$| \frac{1}{2x + 3} | = | \frac{1}{2x + 3} - 0 |$

$\frac{1}{2x + 3} = f(x)$

Utilizando os dados:

$|f(x) - 0| < \frac{1}{2 \delta + 3}$

Visto que 0 = L e que 1/(2.δ + 3) = ε, temos:

$\huge{\boxed{ |f(x) - L| < \varepsilon}} \:$

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado :)

Answer 2

Resposta:

0

Explicação passo-a-passo:

lim x→ ∞ [1/(2x + 3)]

lim x → ∞ [1/(2∞ + 3)0

lim x → ∞ [1/(∞ + 3)]

lim x → ∞ (1/∞)

lim x → ∞ (0)