Question

limite x tendendo a 0 tg(4x)/tg(8x)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{1}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão de limites, devemos reescrever a função de tal maneira que possamos encontrar outra equivalente e seu limite seja encontrado.

Isto é necessário pois observando o limite do enunciado, temos

$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan{4x}}{\tan{8x}}$, cujo resultado imediato é uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$.

Dito isto, devemos relembrar algumas propriedades de arcos duplos, assunto de trigonometria.

Lembre-se que a tangente de um arco duplo pode ser calculada a partir da fórmula $\tan{2x}=\dfrac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$

Logo, isto também é válido para reescrevermos a $\tan{8x}$ da seguinte maneira:

$\tan{8x}=\dfrac{2\tan{4x}}{1-\tan^2{4x}}$

Feito isso, podemos substituir esta expressão na nossa função inicial, ficando com

$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan{4x}}{\left(\dfrac{2\tan{4x}}{1-\tan^2{4x}}\right)}$

Calculando a fração de frações, a qual mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda, ficamos com:

$\lim_{x\rightarrow0}\left(\tan{4x}\cdot\dfrac{1-\tan^2{4x}}{2\tan{4x}}\right)$

Multiplique as frações

$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\tan^2{4x}}{2}$

Como sabemos, o limite de uma soma é igual a soma dos limites, ou seja

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm g(x) = \lim_{x\rightarrow a} f(x) \pm \lim_{x\rightarrow a} g(x)$

Então, podemos simplificar o limite desta forma

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{2}-\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan^2{4x}}{2}$

Sabemos que o limite de uma constante é igual a própria constante e o resultado imediato do outro limite é igual a zero, pois $\tan{0}=0$. Logo,

$\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan{4x}}{\tan{8x}}=\dfrac{1}{2}$

Este é o resultado do limite desta função quando x tende a zero.