Miguel possui uma casa cujo quintal é representado por um
quadrado ABCD de lado 4 m, conforme a figura.
ele deseja construir um deck na área cinza e por isso fará o ladrolhamento da mesma com pedra cariri. a medida do segmento BE mede 1 m . qual a área destinada ao deck
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
A área destinada ao deck (Ad) pode ser dividida em 2 triângulos:
Ad = ABE (t1) e AEF (t2)
Vamos começar obtendo a área de t1:
ABE é um triângulo retângulo e seus catetos medem 4 m e 1 m. Então, sua área é igual a:
t1 = 4 m × 1 m ÷ 2
ABE = t1 = 2 m² [1]
Para calcular a área do triângulo AEF, a coisa é mais complicada, mas vamos lá:
A área do triângulo AEF é igual à área do triângulo ADE menos a área do triângulo ADF:
AEF = ADE - ADF
Então, vamos começar calculando a a área do triângulo ADE.
1. Para isto, vamos aplicar a fórmula de Heron. Precisamos, então, da medida dos 3 lados deste triângulo:
1.1. AD = 4 m (é lado do quadrado)
1.2. O lado AE é a hipotenusa deste triângulo e também do triângulo ABE, cujos catetos medem 4 m e 1 m. Então, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, temos:
AE² = AB² + AE²
AE² = 4² + 1²
AE = √17
AE = 4,12 m
1.3. DE é a hipotenusa do triângulo retângulo ACE, no qual os catetos medem 4 m e 3 m. Então, aplicando novamente Pitágoras:
DE² = DC² + EC²
DE² = 4² + 3²
DE² = 16 + 9
DE = √25
DE = 5 m
1.4. Agora, aplicar a fórmula de Heron, que permite obter a área de um triângulo quando conhecemos as medidas dos 3 lados:
ADE = √p(p-a)(p-b)(p-c)
Neste fórmula, p é a metade do perímetro do triângulo:
p = (4 m + 4,12 m + 5 m) ÷ 2
p = 6,56 m
ADE = √6,56(6,56-4)(6,56-4,12)(6,56-5)
ADE = √6,56 × 2,56 × 2,44 × 1,56
ADE = √63,92
ADE = 7,995 m (área do triângulo ADE
1.5. A área do triângulo é igual à metade do produto de sua base pela sua altura. Então:
ADE = DE × AF ÷ 2
7,995 = 5 × AF ÷ 2
AF = 7,995 × 2 ÷ 5
AF = 3,20
1.6. Precisamos agora obter a medida do segmento EF, que é igual a:
EF = DE - DF
O segmento DF é cateto do triângulo retângulo ADF, no qual AD é a hipotenusa e AF é cateto. Novamente Pitágoras, e:
AD² = AF² + DF²
DF² = AD² - AF²
DF² = 4² - 3,2²
DF = √16 - 10,24
DF = √5,76
DF = 2,4
EF, então, igual a:
EF = DE - DF
EF = 5 - 2,4
EF = 2,6
1.7. Como agora conhecemos as medidas de AF e EF, podemos calcular a área do triângulo AEF, que é o triângulo t2 lá do início:
t2 = AF × EF ÷ 2
t2 = 3,2 × 2,6 ÷ 2
AEF = t2 = 4,16 m² [2]
2. Finalmente, a área do deck, somando as áreas obtidas em [1] e [2]:
Ad = ABE + AEF
Ad = 2 m² + 4,16 m²
Ad = 6,16 m²
Obs.: Depois de obtidas as medidas dos segmentos AF e DF, poderíamos ter obtido a área do deck fazendo a diferença entre as áreas do quadrado todo (16 m²) com as áreas dos triângulos DCE e ADF:
Área do deck (Ad) é igual a:
Ad = ABCD - ACE - ADF
ACE = DC × EC ÷ 2
ACE = 4 × 3 ÷ 2
ACE = 6 m²
ADF = DF × AF ÷ 2
ADF = 3,2 × 2,4 ÷ 2
ADF = 3,84
Ad = 16 - 6 - 3,84
Ad = 6,16 m²