Question

A diferença entre 23° e o 5° termo de uma PA é 90, e a soma do 2° termo com 19° é 101. Qual o valor do 20° termo?

Answer 1

Bom, vamos escrever o que sabemos até agora:

A₂₃ - A₅ = 90

A₂ + A₁₉ = 101

Ficamos com esse sistema de equações

Precisamos saber o valor do 20º termo. Para isso, iremos usar algo que todos têm em comum. O Termo Geral da P.A.

An = A₁ + (n - 1) . r

Bom, iremos reformular o nosso sistema para que todos tenham um fator em comum. Podemos colocar todos eles em função de A₁

De acordo com o Termo Geral da P.A., temos:

A₂₃ = A₁ + 22r

A₅ = A₁ + 4r

A₂ = A₁ + r

A₁₉ = A₁ + 18r

Reformulando nossas equações, temos:

A₂ + A₁₉ = 101

(A₁ + r) + (A₁ + 18r) = 101

A₁ + r + A₁ + 18r = 101

2A₁ + 19r = 101

A₂₃ - A₅ = 90

(A₁ + 22r) - (A₁ + 4r) = 90

A₁ + 22r - A₁ - 4r = 90

18r = 90

r = 90/18

r = 5

Agora que sabemos a razão dessa P.A., podemos usá-la na outra equação e descobrir o valor de A₁ para, consequentemente, poder descobrir o A₂₀

2A₁ + 19r = 101

2A₁ + 19*5 = 101

2A₁ + 95 = 101

2A₁ = 101 - 95

2A₁ = 6

A₁ = 6/2

A₁ = 3

Bom, agora que sabemos o primeiro termo dessa P.A., podemos descobrir qualquer outro termo a partir do Termo Geral da P.A.

An = A₁ + (n - 1) . r

Agora, vamos calcular o A₂₀ dessa P.A.:

A₂₀ = A₁ + 19r

A₂₀ = 3 + 19*5

A₂₀ = 3 + 95

A₂₀ = 98

Em questões de PA, deve-se ter a calma e tentar sempre usar o Termo Geral. Na maioria das vezes dará certo.

Espero ter ajudado

=)