Question

A soma das idades de João, Marcos e Antônio totalizam 52 anos. Se somarmos o dobro idade de João com o triplo da idade de Marcos e subtrairmos a idade de Antônio teremos 41 anos. E sabendo que se do tríplo da idade de João subtraírmos o dobro da idade de Marcos e somarmos ao dobro da idade de Antônio teremos 71 anos, pergunta-se:
a) Qual a idade de João?
b) Qual a idade de Marcos?
c) Qual a idade de Antônio?
( Dica: Use a Regra de Cramer )

Answer 1

Vamos às afirmações do enunciado:

´´A soma das idades de João, Marcos e Antônio totalizam 52 anos.``

 $J+M+A=52$

´´Se somarmos o dobro da idade de João com o triplo da idade de Marcos e subtrairmos a idade de Antônio teremos 41.``

$2J+3M-A=41$

´´E sabendo que se do triplo da idade de João subtrairmos o dobro da idade de Marcos e somarmos ao dobro da idade de Antônio teremos 71 anos.``

$3J-2M+2A=71$

 

Forma-se o seguinte sistema:

   $J+M+A=52$

 $2J+3M-A=41$

 $3J-2M+2A=71$

Bom, como são três equações e três incógnitas (J, M e A), podemos usar a Regra de Cramer.

Para isso, vamos pegar os coeficientes desse sistema e formar uma matriz X 3x3:

 $X=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&-1\\3&-2&2\end{array}\right]$

Agora vamos calcular o seu determinante que será representado por D

$D = (1.3.2 + 1.(-1).3 + 1.2.(-2)) - (1.2.2 + 1.(-1).(-2) + 1.3.3)\\D = (6 - 3 - 4) - (4 + 2 + 9)\\D = -1 -15$

$D=-16$

Agora devemos substituir os termos independentes desse sistema na primeira coluna da matriz X, formando assim uma segunda matriz que chamaremos de Xj

$Xj=\left[\begin{array}{ccc}52&1&1\\41&3&-1\\71&-2&2\end{array}\right]$

Calculando o determinante de $Xj$ temos:

$Dj=[52.3.2+1.(-1).71+1.41.(-2)]-[1.41.2+52.(-1).(-2)+1.3.71)]\\Dj=(312-71-82)-(82+104+213)$

$Dj=-240$

Vamos substituir novamente os termos independente na matriz $X$, porém agora na segunda coluna e vamos chamar essa nova matriz de $Xm$. Assim, temos:

$Xm=\left[\begin{array}{ccc}1&52&1\\2&41&-1\\3&71&2\end{array}\right]$

Calculando o determinante de $Xm$ temos:

$Dm=[1.41.2+52.(-1).3+1.2.71] - [52.2.2+1.(-1).71+1.41.3]\\Dm=(82-156+142)-(208-71+123)\\Dm=68-260$

$Dm=-192$

Pela última vez, iremos substituir os termos independentes desse sistema na terceira coluna da matriz $X$ e formaremos a matriz $Xa$. Logo, temos:

$Xa=\left[\begin{array}{ccc}1&1&52\\2&3&41\\3&-2&71\end{array}\right]$

Calculando o determinante de $Xa$ temos:

$Da=[1.3.71+1.41.3+52.2.(-2)]-[1.2.71+1.41.(-2)+52.3.3]\\Da=(213+123-208)-(142-82+468)\\Da=128-528$

$Da=-400$

Bom, agora para descobrirmos o valor de cada incógnita desse sistema basta pegarmos suas respectivas determinantes e dividi-las pela determinante da matriz inicial $X$. Logo, temos:

Idade de João:

$J=\frac{Dj}{D}$

$J=\frac{-240}{-16}$

$J=15$

Idade de Marcos:

$M=\frac{Dm}{D}$

$M=\frac{-192}{-16}$

$M=12$

Idade de Antônio:

$A=\frac{Da}{D}$

$A=\frac{-400}{-16}$

$A=25$

Logo, João tem 15 anos, Marcos tem 12 anos e Antônio tem 25 anos.

Dúvidas? Comente!

Bons estudos!

=)