Question

Alguém ajuda-me por gentileza? A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado 3 cm inscrito em um hexágono de lado E. Calcule a área da região sombreada.

Answer 1

  ➺  A área de um triângulo equilátero obedece uma fórmula simples (demonstração em anexo):

$\bf{A_{TE}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\A_T_E=\dfrac{3^2\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_T_E=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}$

  ➺  Caso queira a área da região sombreada também, temos que descobrir o valor de E através da Lei dos Cossenos.

  ➺  Um dos triângulos sombreados possui lados E, E e 3 cm. O ângulo oposto ao lado de 3 cm é 120°, visto que, todos os ângulos internos de um hexágono regular são iguais a 120°.

$\bf{3^2=E^2+E^2+2\cdot E\cdot E\cdot cos120\°}\\\\9=2E^2+2E^2\cdot\dfrac{1}{2}\\\\9=2E^2+E^2\\\\3E^2=9\\\\E^2=\dfrac{9}{3}\\\\E^2=3\\\\E=\sqrt{3}\;cm$

  ➺  Sabendo o valor de E, agora é possível calcular a área do hexágono, para descobrir a área sombreada, só subtrair a área do triângulo equilátero.

$\bf{A_H=6\cdot\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\A_H=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\\\\\A_H=6\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_H=\dfrac{18\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}$

  ➺  Área da região sombreada:

$\bf{A_S=A_H-A_T_E}\\\\\\A_S=\dfrac{18\sqrt{3}}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_S=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}$

Respostas:

$\bf{\'Area\;do\;Tri\^angulo\;Equil\'atero\rightarrow\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}\\\\\bf{\'Area\;do\;Hex\'agono\rightarrow\dfrac{18\sqrt{3}}{4}\;cm^2}\\\\\bf{\'Area\;da\;Regi\~ao\;Sombreada\rightarrow\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}$

  ➺  Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30207929

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)