Question

um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dissensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área (em cm²) da região determinada por esse triangulo sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que x < y.​

Answer 1

Resposta: Área = 30cm²

Explicação passo-a-passo:

Olá,

* primeiramente vamos explanar a fórmula do perímetro de um triângulo, dada por:

P = L + L + L

onde cada termo “L” representa seus catetos mais a hipotenusa.

* como o enunciado nomeia os catetos como ”x” e “y”, vamos calcular a fórmula do perímetro do triângulo sabendo que P= 30 e a hipotenusa= 13.

Em seguida vamos isolar o termo “x” pois o enunciado diz que x<y.

P = L + L + L

P = x + y + L

30 = x + y + 13

30 - 13 = x + y

17 = x + y

x + y = 17

x = 17 - y

* agora vamos encontrar o valor do termo “y” através da teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

onde chamaremos,

a² = hipotenusa= 13²

b= cateto “x” = (17 - y)²

c = cateto “y” = ?

13² = (17 - y)² + y²

169 = 17² - 2•17•y + y² + y²

169 = 289 - 34y + 2y²

0 = 289 - 169 - 34y + 2y²

2y² - 34y + 120 = 0

* temos uma equação do 2° grau, então calculamos teorema de Bhaskara:

2y² - 34y + 120 = 0

a= 2, b= -34, c= 120

x = (-b + - √Δ)/2•a

x = (-b + - √b²- 4•a•c)/2•a

x = ( -(-34) + - √(-34)² - 4•2•120)/2•2

x = (34 + - √1.156 - 960)/4

x = (34 + - √196)/4

X = (34 + - 14)/4

* resolvendo as raízes:

x1 = (34 + 14)/4

x1 = 48/4

x1 = 12

x2 = (34 - 14)/4

x2 = 20/4

x2 = 5

* como o enunciado diz x<y então renomeamos uma das raízes como sendo “y” e temos que:

x= 5 e y= 12

* por fim, calculando a área do triângulo temos a seguinte fórmula:

At = (a•h)/2

onde,

At = Área do triângulo

a= base= 12

h= atura= 5

At= (12•5)/2

At = 60/2

At = 30cm²

Espero ter ajudado!